Message
Изображение №
© 2020-2025 МСЦ РАН
Привалов Иван Иванович Введение в теорию функций комплексного переменного. – 1932. – 312 с., черт.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Комплексные числа
§ 1. Комплексные числа и действия над ними
1. Понятие комплексного числа
2. Сложение и умножение комплексных чисел
3. Вычитание и деление комплексных чисел
§ 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Теоремы о модуле и аргументе.
1. Геометрическое изображение комплексных чисел
2. Геометрическое истолкование сложения и вычитания комплексных чисел
3. Понятие о модуле и аргументе
4. Теоремы о модуле и аргументе
5. Геометрическое изображение числа
6. Геометрическое истолкование умножения и деления комплексных чисел
§ 3. Пределы
1. Основной принцип теории пределов
2. Понятие предельной точки
3. Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел
4. Принцип Больцано—Вейерштрасса
5. Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел
6. Основные теоремы теории пределов
7. Критерий Коши
§ 4. Числовая сфера. Бесконечно удаленная точка
1. Изображение комплексных чисел на сфере. Бесконечно удаленная точка
2. Формулы стереографической проекции
3. Основное свойство стереографической проекции
§ 5. Ряды
1. Понятие сходящегося и расходящегося ряда
2. Необходимый признак сходящегося ряда
3. Понятие абсолютно сходящегося ряда
4. Сложение и вычитание рядов
5. Теорема о двойных рядах
6. Перестановка членов ряда
7. Умножение рядов
Упражнения к гл. I.
Глава II. Комплексное переменное и функции комплексного переменного
§ 1. Функции комплексного переменного
1. Понятие функции комплексного переменного
2. Линия Жордана. Понятие области
3. Непрерывность функций комплексного переменного
4. Теорема о равномерной непрерывности. Лемма Гейне—Бореля
§ 2. Ряды функций
1. Понятие равномерно сходящегося ряда
2. Теорема о непрерывности суммы ряда
3. Признак равномерно сходящегося ряда
§ 3. Степенные ряды
1. Понятие области сходимости степенного ряда
2. Первая теорема Абеля
3. Круг сходимости
4. Понятие наибольшего предела
5. Определение радиуса сходимости
6. Равномерная сходимость степенного ряда
7. Вторая теорема Абеля
8. Показательная функция. Функции тригонометрические и гиперболические
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного
1. Понятие производной
2. Понятие функции аналитической в области
3. Понятие дифференциала
4. Условия Коши—Римана
5. Сопряженные гармонические функции
§ 5. Конформное изображение
1. Геометрический смысл аргумента производной
2. » » модуля производной
3. Конформное отображение
4. » » II рода
5. Геометрический смысл дифференциала
Упражнения к гл. II.
Глава III. Криволинейные интегралы в действительной и комплексной областях
§ 1. Криволинейные интегралы
1. Понятие криволинейного интеграла
2. Механический смысл криволинейного интеграла
3. Основные свойства криволинейного интеграла
4. Постановка вопроса независимости значения криволинейного интеграла от пути интегрирования
5. Формула Грина
6. Вычисление площадей
7. Условие независимости значения криволинейного интеграла от пути интегрирования
8. Условие, при котором рdx + qdy есть полный дифференциал
§ 2. Приложения к гидродинамике
1. Невихревой и свободный от источников поток жидкости
2. Характеристическая функция потока
§ 3. Интегралы по комплексному переменному
1. Понятие интеграла по комплексному переменному
2. Основные свойства интеграла по комплексному переменному
3. Интегрирование равномерно сходящегося ряда
4. Теорема Коши
Упражнения к гл. III.
Глава VI. Теорема Коши. Интеграл Коши
§ 1. Теорема Коши
1. Основная лемма
2. Приведение доказательства теоремы Коши к простейшему случаю
3. Доказательство теоремы Коши
4. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области
5. Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров
6. Логарифмическая функция
§ 2. Интеграл Коши
1. Формула Коши
2. Распространение формулы Коши на случай сложных контуров
3. Интеграл типа Коши
4. Существование производных всех порядков для функции аналитической в области
5. Теорема Морера (Моrеrа)
6. Три различные точки зрения в построении теории аналитических функций
7. О предельных значениях интеграла типа Коши
8. Интеграл Пуассона
Упражнения к гл. IV.
Главa V. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций
1. Первая теорема Вейерштрасса
§ 2. Ряд Тейлора
1. Приложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам
2. Разложение аналитической функции в степенной ряд
3. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции
4. Свойство единственности аналитических функций
5. Нули аналитической функции
6. Порядок нуля
7. Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда
8. Теорема Лиувилля
9. Вторая теорема Вейерштрасса
Упражнения к гл. V.
Глава VI. Аналитическое продолжение
§ 1. Принцип аналитического продолжения
1. Понятие аналитического продолжения
2. Понятие полной аналитической функции в смысле Вейерштрасса
3. Распространение функции действительного переменного на комплексную область по принципу аналитического продолжения
§ 2. Примеры
1. Примеры однозначных функций
2. Примеры многозначных функций
Упражнения к гл. VI.
Глава VII. Изолированные особые точки однозначной функции
§ 1. Ряд Лорана
1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана
2. Правильная и главная часть ряда Лорана
3. Единственность разложения Лорана
§ 2. Классификация особых точек однозначной функции
1. Три типа изолированных особых точек
2. Устранимая особая точка
3. Полюс
4. Связь между нулем и полюсом
5. Существенно особая точка
6. Поведение функции в окрестности изолированной особой точки
§ 3. Поведение аналитической функции в бесконечности
1. Окрестность бесконечно удаленной точки
2. Разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки
3. Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки
§ 4. Простейшие классы аналитических функций
1. Целые функции
2. Мероморфные функции
3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби
4. Основной принцип алгебры
§ 5. Приложения к гидродинамике
1. Обтекание круглого цилиндра потоком без циркуляции
2. Чисто циркулярный поток
3. Общий случай
Упражнения к гл. VII.
Глава VIII. Теория вычетов
§ 1. Общая теория вычетов
1. Вычет функции относительно изолированной особой точки
2. Основная теорема о вычетах
3. Вычисление вычета функции относительно полюса
4. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки
5. Логарифмический вычет
§ 2. Приложения теории вычетов
1. Основная теорема алгебры
2. Приложения теории вычетов к вычислению определенных интегралов
Упражнения к гл. VIII.
Глава IX. Бесконечные произведения и приложения их к аналитическим функциям
§ 1. Бесконечные произведения
1. Сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения
2. Основной критерий сходимости бесконечного произведение
3. Изображение голоморфной функции в виде бесконечного произведения
§ 2. Приложения бесконечных произведений к теории целых функций
1. Формула Вейерштрасса
2. Изображение целой функции в виде бесконечного произведения
3. Изображение мероморфной функции в виде отношения двух целых функций
4. Задача Миттаг—Леффлера
§ 3. Обобщение теоремы единственности аналитических функций
1. Возможные обобщения теоремы единственности аналитических функций
2. Формула Якоби и Иенсена
3. Доказательство теоремы единственности
4. Невозможность дальнейшего обобщения теоремы единственности для ограниченных функций
Упражнения к гл. IX.
Глава X. Теорема Пикара
§ 1. Предложение Блоха
1. Теорема об обращении голоморфной функции
2. Доказательство предложения Блоха
§ 2. Теорема Ландау
1. Доказательство теоремы Ландау
2. Малая теорема Пикара
§ 3. Неравенство Шоттки
1. Вывод неравенства Шоттки
2. Обобщенное неравенство Шоттки
§ 4. Общая теорема Пикара
Упражнения к гл. X.
Глава XI. Конформные отображения
§ 1. Линейная функция
1. Целая линейная функция
2. Функция w = 1/z
3. Общая линейная функция
4. Круговое свойство линейной функции
5. Определение линейного преобразования
6. Отображение верхней полуплоскости в самое себя
7. Инвариантность пары взаимно симметричных точек при линейном преобразовании
8. Отображение круга на верхнюю полуплоскость
9. » » самого в себя
10. Лемма Шварца
11. Различные типы линейных преобразований
12. Условия, определяющие конформное отображение
§ 2. Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые ими
1. Степенная функция и радикал
2. Показательная и логарифмическая функции
§ 3. Два основные принципа теории конформных отображений
1. Первый принцип
2. Принцип симметрии Римана—Шварца
§ 4. Единственность аналитических функций
1. Однозначное определение аналитической функции по ее граничным значениям
2. Обобщение теоремы единственности
§ 5. Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных линиями второго порядка
1. Равносторонняя гипербола
2. Парабола
3. Гипербола и эллипс
4. Отображение внутренности эллипса на полуплоскость
§ 6. Конформное отображение односвязных областей
1. Упрощение постановки теоремы Римана
2. Вспомогательная функция и ее основные свойства
3. Основная лемма
4. Доказательство предложения Римана
5. Теорема об единственности функции, выполняющей конформное отображение
§ 7. Соответствие границ при конформном отображении
1. Постановка задачи
2. Доказательство предложения о соответствии границ
§ 8. Отображение на верхнюю полуплоскость прямоугольника и произвольного многоугольника
1. Прямоугольник
2. Эллиптическая функция
3. Многоугольник
4. Треугольник
Предметный указатель