Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Мусхелишвили Николай Иванович Курс аналитической геометрии в векторном изложении. – 1933. – 220 с.: рис.
Предисловие
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава первая. ВЕКТОРЫ. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ
I. Отрезок, ось, вектор
1. Отрезок
2. Ось
3. Векторы
4. Геометрическое равенство векторов
5. Векторы: свободный, скользящий и связанный
II. Геометрическая сумма. Произведение вектора и числа. Векторы, параллельные данному направлению
6. Геометрическая сумма
7. Частные случаи
8. Геометрическая разность
9. Произведение вектора и числа
10. Произведение геометрической суммы и числа
11. Векторы, параллельные данному направлению. Орты
12. Векторы на оси
III. Проекции на ось и на плоскость
13. Проекция на ось
13а. Случай фигур, расположенных в одной и той же плоскости
14. Проекция на плоскость
15. Проекции геометрической суммы и разности на ось
16. Проекции геометрической суммы и разности на плоскость
17. Проекция произведения вектора и числа
IV. Формулы для вычисления прямоугольных проекций
18. Угол между двумя направлениями
19. Формула для вычисления прямоугольной проекции вектора на ось
19а. Обобщение
20. Длина прямоугольной проекции вектора на плоскость
21. Площадь проекции плоской фигуры на плоскость
V. Скалярное произведение двух векторов
22. Скалярное произведение двух векторов
23. Дальнейшие свойства скалярного произведения
24. Выражение прямоугольной проекции вектора через скалярное произведение
Глава вторая. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И ТОЧКИ
I. Прямолинейные координаты
25. Координаты на прямой (оси)
26. Разложение вектора, расположенного на данной плоскости, по двум направлениям. Координаты вектора и точки на плоскости
27. Прямоугольные координаты на плоскости
28. Разложение вектора по трем направлениям. Координаты вектора и точки в пространстве.
29. Прямоугольные координаты в пространстве
II. Основные формулы, имеющие одинаковый вид в прямоугольных и косоугольных координатах
30. Задача 1. Найти геометрическую сумму данных векторов
31. Задана 2. Определить вектор по заданным началу и концу
32. Задача 3. Найти произведение данного вектора и данного числа
33. Задача 4. Найти условие параллельности двух векторов
34. Задача 5. Найти условие коллинеарности трех точек
35. Задача 6. Найти условие компланарности трех данных векторов и условие компланарности четырех данных точек
36. Задача 7. Разделить в данном отношении отрезок прямой, соединяющей два данные точки
III. Основные формулы в прямоугольных координатах
37. Задача 8. Найти скалярное произведение двух данных векторов
38. Задача 9. Найти длину данного вектору и его углы с осями координат; найти расстояние между двумя данными точками
39. Координаты орта. Косинусы направления
40. Задача 10. Найти угол между двумя векторами (или направлениями)
41. Задача 11. Найти условие перпендикулярности двух векторов (или направлений)
42. Определение направления на плоскости
43. Вычисление угла между двумя направлениями на плоскости, когда углу приписывается знак
44. Задача 12. Найти площадь треугольника, построенного на двух векторах с общим началом
45. Задача 13. Найти площадь треугольника, заданного тремя вершинами
46. Правая и левая системы трех направлений
47. Векторное произведение двух векторов
48. Дальнейшие свойства векторного произведения
49. Табличка векторного умножения ортов прямоугольной системы координат
50. Задача 14. Найти векторное произведение двух данных векторов
51. Смешанное произведение трех векторов
52. Задача 15. Найти объем параллелепипеда или тетраэдра, построенного на трех данных векторах
53. Задача 16. Найти объем тетраэдра, зная координаты вершин
IV. Основные формулы в косоугольных координатах
54. Ковариантные и контравариантные прямолинейные координаты
55. Выражение для скалярного произведения двух векторов
56. Выражение для длины вектора, угла между двумя векторами и для расстояния между двумя точками
57. Ковариантные и контравариантные коэффициенты направления
Глава третья. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ. НЕКОТОРЫЕ НЕПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
I. Общие формулы. Основное предложение
58. Перенесение начала
59. Изменение направления осей
60. Общий случай
61. Преобразования ковариантных координат
II. Важнейшие частные случаи преобразования координат
62. Преобразование прямоугольных координат на плоскости в прямоугольные и косоугольные
63. Преобразование прямоугольных координат в пространстве
64. Соотношение между коэффициентами формул преобразования прямоугольных координат
65. Продолжение
66. Ортогональные подстановки. Алгебраический вывод предыдущих формул
67. Углы Эйлера
68. Преобразование косоугольных координат на плоскости
III. Различные системы координат
69. Система полярных координат на плоскости
70. Обобщение
71. Преобразование полярных координат на плоскости в прямолинейные
72. Полярные координаты в пространстве
73. Полуполярные (цилиндрические) координаты
74. Общий метод координат
Глава четвертая. ОБ УРАВНЕНИИ ПЛОСКОЙ ЛИНИИ. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
I. Аналитическое представление линии на плоскости
75. Уравнение линии
76. Примеры уравнения прямой линии и окружности
77. Параметрическое представление линии
78. Уравнения линии в различных системах координат
79. Основные вопросы, связанные с аналитическим представлением линии
80. Примеры различных линий
81. Классификация плоских линий
82. Приводимые и неприводимые алгебраические кривые
83. О пересечении двух линий
II. Различные виды уравнения прямой
84. Уравнение в коэффициентах направления. Параметрическое представление
85. Приведенное уравнение прямой
86. Общее уравнение прямой
87. Частные случаи общего уравнения прямой
88. Знак трехчлена Ах + Ву + С
89. Уравнение в отрезках на осях
90. Построение прямой по заданному уравнению
91. Геометрическое значение коэффициентов А и В в общем уравнении
92. Нормальное уравнение прямой
III Основные задачи на прямую
93. Задача 1.Найти условия параллельности и совпадения двух заданных прямых
94. Задача 2. Найти точку пересечения двух прямых
95. Задача 3. Найти точки пересечения данной прямой и данной кривой
96. Задача 4. Найти угол между двумя данными прямыми
97. Задача 5. Найти условие перпендикулярности двух прямых
98. Задача 6. Найти расстояние данной точки до данной прямой
99. Задача 7. Найти отношение, в котором данная прямая делит отрезок, соединяющий две данные точки
100. Число независимых постоянных в уравнении прямой
101. Пучок прямых
102. Задача 8. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данному направлению
103. Задача 9. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки
104. Задача 10. Найти прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярную к заданной прямой
105. Задача 11. Найти прямую, проходящую через заданную точку и составляющую с заданной прямой заданный угол
106. Общее уравнение прямых, проходящих через пересечение двух данных
107. Задача 12. Найти прямую, проходящую через пересечение двух заданных прямых и через другую заданную точку
108. Условие, необходимое для того, чтобы три прямые пересекались в одной точке
109. Задача 13. Найти уравнение прямой, проходящей через пересечение заданных прямых и имеющей заданное направление
110. Геометрическое значение постоянной k
Глава пятая. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
I. Уравнение поверхности. Уравнения линии
111. Уравнение поверхности
112. Уравнение сферы и кругового конуса в прямоугольных координатах
113. Уравнение цилиндра
114. Классификация поверхностей
115. Уравнения линии
116. Параметрическое представление линий и поверхностей
117. О пересечении поверхностей и линий в пространстве
II. Уравнение плоскости
118. Общее и нормальное уравнения плоскости
119. Геометрическое значение коэффициентов А, В, С
120. Частные случаи
121. Знак четырехчлена Ах + By + Cz + D
122. Уравнение в отрезках на осях
123. Построение плоскости, заданной уравнением
124. Следы плоскости на плоскостях координат
125. Условия параллельности и совпадения двух плоскостей
III. Уравнения прямой в пространстве
126. Уравнения в коэффициентах направления. Параметрическое представление
127. Приведенные уравнения прямой
128. Условия параллельности и совпадения двух прямых
129. Уравнения прямой в общем виде
IV. Основные задачи на прямую и плоскость
130. Задача 1. Найти пересечение двух плоскостей
131. Задача 2. Найти пересечение трех плоскостей
132. Задача 3. Найти пересечение плоскости и прямой
133. О пересечении двух прямых в пространстве
134. Задача 4. Найти углы между данными плоскостями или прямыми
135. Задача 5. Найти условия перпендикулярности данных прямых и плоскостей
136. Задача 6. Найти расстояние данной точки до данной плоскости
137. Задача 7. Найти отношение, в котором данная плоскость делит отрезок, соединяющий две данные точки
138. Число независимых постоянных, определяющих положение плоскости и прямой в пространстве
139. Связка прямых и плоскостей. Пучок плоскостей
140. Задача 8. Найти прямую, проходящую через заданную точку и параллельную заданной прямой (или вектору)
141. Задача 9. Найти прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярную к заданной плоскости
142. Задача 10. Найти прямую, проходящую через две заданные точки
143. Задача 11. Найти плоскость, проходящую через заданную точку и параллельную заданной плоскости
144. Задача 12. Найти плоскость, проходящую через заданную точку и перпендикулярную к заданной прямой (или вектору)
145. Задача 13. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и заданную точку
146. Задача 14. Найти плоскость, проходящую через три заданные точки
147. Задача 15. Найти плоскость, проходящую через заданную прямую и параллельную другой заданной прямой или вектору
148. Задача 16. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и перпендикулярную к заданной плоскости
149. Задача 17. Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную прямую
150. Задача 18. Найти плоскость, проходящую через данную точку и параллельную двум данным векторам
151. Задача 19. Найти расстояние, заданной точки от заданной прямой
152. Задача 20. Найти уравнения общего перпендикуляра к двум прямым
153. Задача 21. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми