Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Поссе Константин Александрович Курс интегрального исчисления. – 1934. – 484 с.
Предисловие
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. Основания интегрального исчисления
1. Определение интеграла.
2. Геометрическое изображение интеграла
3. Основные теоремы и простейшие формулы интегрального исчисления
4. Различные приемы интегрирования функций
5. Определенный интеграл и его главные свойства
6. Выражение интеграла в виде предела суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых
7. Геометрическая интерпретация представления интеграла как предела суммы
8. Задачи, приводящиеся к вычислению определенных интегралов
9. Спрямление дуг кривых линий
10. Аналитическое доказательство существования интеграла непрерывней функции
Упражнения
ГЛАВА II. Интегрирование в конечном виде некоторых алгебраических и трансцендентных функций. Приложения к геометрии
1. Интегрирование рациональных дробей
2. Отделение алгебраических членов в интеграле от рациональной дроби
3. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
4. Интегрирование некоторых трансцендентных функции
5. Квадратура площадей
6. Спрямление дуг
7. Вычисление объемов
8. Вычисление поверхностей тел вращения
9. Вычисление объемов и поверхностей тел, образуемых вращением замкнутой кривой около данной оси, при помощи криволинейных интегралов
Упражнения
ГЛАВА III. Определенные интегралы
1. Определение и основные формулы. Приведение вопроса о вычислении определенного интеграла к интегрированию функции. Теорема о среднем значении
2. Обобщение понятия об интеграле на случай бесконечных пределов и обращения подынтегральной функции в бесконечность между пределами интегрирования
3. Различные способы вычисления определенных интегралов
4. Некоторые признаки конечности интегралов с бесконечными пределами или от функций, обращающихся в бесконечность в пределах интегрирования
5. Эйлеровы интегралы
6. Приложение интегрального исчисления к исследованию сходимости рядов и разложению функций в ряды
7. Вычисление интеграла при помощи разложения подынтегральной функции в ряд
8. Дифференцирование по параметру в случае бесконечных пределов
9. Формула Симпсона для приближенного вычисления интегралов (площадей)
Упражнения
ГЛАВА IV. Интегрирование дифференциальных уравнений
1. Разыскание функции от нескольких переменных по данному полному ее дифференциалу
2. Определения
3. Уравнения 1-го порядка и первой степени относительно производной неизвестной функции
A. Полные диференииальные уравнения и, в частности, уравнения с отдельными переменными
B. Линейные уравнения и приводящиеся к линейным
С Уравнения однородные и приводящиеся к однородным
D. Уравнения вида M dx + N dy + P (x dy—у dx) = 0
E. Уравнения Риккати (способ Буля)
4. Множитель дифференциального уравнения
5. Уравнения 1-го порядка, не решенные относительно производной функции
6. Особые решения уравнений 1-го порядка
7. Различные формы общего интеграла одного и того же дифференциального уравнения. Алгебраический интеграл уравнения Эйлера
8. Дифференциальное уравнение как результат исключения нескольких произвольных постоянных
9. Понижение порядка и интегрирование уравнений в некоторых частных случаях
9а. Интегрирование дифференциального уравнения конических сечений
10. Общие свойства линейных уравнений
11. Способ изменения произвольных постоянных
12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящееся к ним
13. Решение уравнений с помощью ряда Тейлора
14. Решение дифференциального уравнения с помощью степенного ряда
15. Задача о траекториях
16. Задача о погонной линии
17. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
18. Интегрирование уравнений в частных производных 1-го порядка, линейных относительно частных производных неизвестной функции
Упражнения
ГЛАВА V. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов и поверхностей
1.Определение интеграла, распространенного по площади, и его геометрическое значение
2. Вычисление двойного интеграла
3. О перемене порядка интегрирований при вычислении двойных интегралов
4. Случаи, когда результат двух последовательных интегрирований функции f(х,y), в постоянных пределах, может зависеть от порядка действий
5. Вычисление поверхностей
6. Преобразование переменных в двойных интегралах
7. Геометрический вывод формулы преобразования двойного интеграла
8. Приложение общей формулы преобразования переменных в двойном интеграле к частным случаям. Элементы поверхности в криволинейных координатах
9. Определение и вычисление тройного интеграла, распространенного по некоторому объему
10. Преобразование переменных в тройных интегралах. Элемент объема в криволинейных координатах
11. Геометрическая интерпретация преобразования тройного интеграла
12. Элемент объема в полярных и вообще ортогональных координатах
Упражнения
ГЛАВА VI. Криволинейные интегралы. Интегралы, распространенные по поверхности
1. Определение
2. Формула Грина
3. Интегралы, распространенные по поверхности. Формулы Стокса
4. Обобщение формулы Грина: преобразование интеграла, распространенного по объему, в интеграл по поверхности. Следствие этой формулы (теорема Грина)
Упражнения
ГЛАВА VII. Понятие о функциях от комплексной переменной. Интегралы от функции комплексной переменной
1. Понятие о функциях от комплексной переменной и производные этих функций
2. Определение интеграла от функции комплексной переменной
3. Основная формула Коши
Упражнения
ГЛАВА VIII. Ряды и интегралы Фурье
1. Разложение функций в тригонометрические ряды
2. Теоремы и примеры
3. Высший предел численных значений коэффициентов в ряде Фурье
4. Интегралы Фурье
5. Примеры приложения формулы Фурье к интегрированию линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами
Упражнения
ГЛАВА IX. Начала вариационного исчисления
Указатель