Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Крупенькин Т. Н. Курс высшей математики для техников и физиков. – 1934. – 664 с., ид.
Предисловие ко 2-му изданию
Предисловие к 3-му изданию
Общие замечания относительно проработки высшей математики по предлагаемому курсу
ЧАСТЬ I. ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ, ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Введение
§ 2. Определение положения точки на прямой линии
§ 3. Определение положения точки на плоскости
§ 4. Решение задач геометрии с помощью метода координат
§ 5. Задача I. Расстояние между двумя точками
§ 6. Задача II. Деление отрезка в данном отношении
§ 7. Задача III. Площадь треугольника по координатам его вершин
§ 8. Заключение
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 9. Координатные плоскости
§ 10. Определение положения точки в пространстве
Ре шение за дач с помощью метода координат в пространстве
§ 11. Задача I. Расстояние между двумя точками в пространстве
§ 12. Задача П. Деление отрезка в пространстве в данном отношении
Основные положения теории проекций
§ 13. Вектор; его обозначение; равенство векторов
§ 14. Проекция вектора на ось
§ 15. Проекция суммы векторов на ось
§ 16. Проекция вектора на оси координат в плоскости
§ 17. Проекция вектора на координатные оси в пространстве
§ 18. Направляющие косинусы
§ 19. Соотношение между направляющими косинусами
§ 20. Угол между двумя векторами в пространстве
§ 21. Заключение
Глава III. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЕ. ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ ЛИНИЮ
§ 22. Предварительные замечания
§ 23. Функция. Аргумент. Функциональная зависимость
§ 24. Величины постоянные и переменные
§ 25. Функции математические и эмпирические
§ 26. Различные формы выражения функциональной зависимости
§ 27. Вычисление функций
§ 28. Примеры графического изображения функций
§ 29. Прямая пропорциональность
§ 30. Обратная пропорциональность. Упражнения
§ 31. Линейная функция
§ 32. Уравнение прямой линии на плоскости
§ 33. Построение прямой по ее уравнению
§ 34. Частные случаи уравнения прямой
§ 35. Пересечение прямых
§ 36. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
Задачи на прямую линию
§ 37. Составление уравнения прямой, проходящей через данную точку
§ 38. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки плоскости
§ 39. Определение угла между прямыми
§ 40. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
§ 41. Функции непрерывные и разрывные
§ 42. Заключение
Глава IV. УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 43. Уравнение окружности
§ 44. Эллипс. Определение эллипса
§ 45. Геометрическое построение точек эллипса
§ 46. Вывод уравнения эллипса
§ 47. Форма эллипса и его простейшие свойства на основании его уравнения
§ 48. Преобразование прямоугольных координат
§ 49. Уравнение эллипса, центр которого вне начала координат
§ 50. Гипербола. Определение гиперболы
§ 51. Геометрическое построение гиперболы
§ 52. Уравнение гиперболы
§ 53. Построение гиперболы по ее уравнению
§ 54. Асимптоты гиперболы
§ 55. Равнобочная гипербола
§ 56. Уравнение гиперболы, центр которой вне начала координат
§ 57. Парабола. Определение параболы и ее построение
§ 58. Уравнение параболы
§ 59. Свойства параболы, вытекающие из ее уравнения. Построение параболы по точкам. Конические сечения
§ 60. О пересечении кривых. Понятие о графическом решении уравнения
§ 61. Заключение
Глава V. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО-БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 62. Понятие о пределе переменной величины
§ 63. Величины бесконечно-малые и бесконечно-большие
§ 64. О свойствах абсолютных значений величин и о неравенствах
§ 65. Важнейшие свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших
§ 66. Теоремы о пределах
§ 67. Вычисления пределов переменных величин
§ 68. Заключение
Глава VI. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 69. Приращение аргумента и функции
§ 70. Понятие о средней скорости и об истинной скорости при неравномерном движении
§ 71. Ускорение. Упражнения
§ 72. Уклон кривой. Касательная
§ 73. Понятие о производной функции
§ 74. Механический и физический смысл производной
§ 75. Геометрический смысл производной
§ 76. Непрерывность функций
§ 77. Заключение
Глава VII. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ
§ 78. Функции возрастающие и убывающие
§ 79. Понятие о максимуме и минимуме непрерывных функций
§ 80. Признаки возрастания и убывания функции
§ 81. Условия существования максимума и минимума
§ 82. Различные обозначения производной функции
§ 83. Отыскание максимума и минимума (способ первый)
§ 84. Схема нахождения максимума или минимума функции
§ 85. Упрощения при исследовании функции на максимум или минимум
§ 86. Задачи на максимум и минимум
§ 87. Схема решения задач на максимум и минимум
§ 88. Заключение
Глава VIII. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ; ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА.
§ 89. Замечание о порядке малости бесконечно-малых
§ 90. Диференциал
§ 91. Сравнение диференциала с приращением функции
§ 92. Площадь кривой
§ 93. Пример вычисления площади
§ 94. Диференциал площади
Примеры вычисления простейших интегралов
§ 95. Определенный интеграл, как предел суммы бесконечно-малых слагаемых
§ 96. Некоторые приложения определенного интеграла в прикладной механике. Момент инерции площади относительно оси
§ 97. Заключение
ЧАСТЬ II. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Глава IX. СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛ ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 98. Предварительные замечания и таблица производных
§ 99. Производная от постоянной
§ 100. Производная от аргумента
§ 101. Производная от суммы
§ 102. Производная произведения двух функций
§ 103. Производная произведения постоянного на функцию
§ 104. Производная произведения нескольких сомножителей
§ 105. Производная целой положительной степени. Упражнения
§ 106. Диференцирование дроби
§ 107. Понятие о функции от функции. Нахождение производной функции от функции
§ 108. Диференцирование корней и дробных степеней
Глава X. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ВТОРОЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
§ 109. Производные высших порядков и их обозначение
§ 110. Второй способ исследования функций на максимум и минимум
§ 111. Максимум и минимум других типов
§ 112. Понятие о направлении выпуклости кривой. Точка перегиба
§ 113. Заключение
Глава XI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПОСТОЯННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. СВЯЗЬ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО И ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПРОСТЕЙШИХ ПОДСТАНОВОК
§ 114. Предварительные теоремы
§ 115. Понятие о неопределенном интеграле. Постоянное интегрирования
§ 116. Основные правила и формулы. Упражнения на применение основных формул интегрирования
§ 117. Определенный интеграл
§ 118. Зависимость между неопределенным и определенным интегралами
§ 119. О знаке площади
Простейшие свойства определенного интеграла
§ 120. Перестановка пределов определенного интеграла
§ 121. Промежуток между пределами интеграла можно подразделять на части
§ 122. Изменение пределов интегрирования, если изменяется переменное под знаком интеграла
§ 123. Примеры интегрирования способом замены выражения, стоящего под знаком интеграла
§ 124. Заключение
Глава XII. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 125. Понятие о диференциальном уравнении. Общий и частные интегралы его
§ 126. Простейшие диференциальные уравнения
§ 127. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
§ 128. Заключение
Глава XIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, ПРИВОДЯЩИХСЯ К ЛОГАРИФМАМ
§ 129. Показательная функция
§ 130. Понятие об обратной функции
§ 131. Графики обратных функций
§ 132. Логарифмическая функция
§ 133. Понятие о таблицах логарифмов. Число е
§ 134. Закон непрерывного роста в общей форме
§ 135. Натуральная система логарифмов
§ 136. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратно
§ 137. Производная показательной функции e^x
§ 138. Выражение всякого числа в виде степени е
§ 139. Производная показательной функции у = а^х
§ 140. Диференцирование общей показательной функции
§ 141. Интегрирование показательных функций
§ 142. Производная обратной функции
§ 143. Производная логарифмической функции у = lnх
§ 144. Производная логарифмической функции (ф-ла)
§ 145. Интегрирование выражений, приводящих к логарифму
§ 146. Заключение
Глава XIV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИХ
§ 147. Графики тригонометрических функций
§ 148. Предел выражения (ф-ла), когда х стремится к нулю
§ 149. Производная функции y = sin x
§ 150. Производная функции y = cos x
§ 151. Производная функции y = tg x
§ 152. Производная функции y = ctg x
§ 153. Задачи на приложение производных тригонометрических функций
§ 154. Интегрирование тригонометрических функций
§ 155. Интеграл от (ф-ла)
§ 156. Продолжение задачи § 154
§ 157. Интеграл от (ф-ла)
§ 158. Интеграл от (ф-ла) и (ф-ла)
§ 159. Примеры интегрирования тригонометрических выражений
§ 160. Интегралы вида: (ф-лы)
§ 161. Интегралы вида: (ф-лы)
§ 162. Интегралы вида: (ф-лы)
§ 163. Тригонометрические интегралы вида: (ф-ла)
§ 164. Интегралы, содержащие целые степени функций tg u, ctg u, sc u, cosc u
§ 165. Графики некоторых сложных функций
§ 166. Заключение
Глава XV. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИХ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, ПРИВОДЯЩИХСЯ К ОБРАТНЫМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
§ 167. Понятие об обратных тригонометрических функциях
§ 168. Многозначность обратных круговых функций
§ 169. Графики обратных круговых функций
§ 170. Некоторые свойства обратных круговых функций
§ 171. Диференцирование обратных круговых функций
§ 172. Интегрирование выражений, приводящихся к обратным круговым функциям
§ 173. Заключение
Глава XVI. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 174. Понятие о гиперболических функциях; их простейшие свойства
§ 175. Графики гиперболических функций
§ 176. Диференцирование гиперболических функций
§ 177. Об обратных гиперболических функциях
§ 178. Заключение
Глава XVII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. (НЕ ОСНОВНЫЕ)
§ 179. Интегрирование способом подстановки
§ 180. Интегрирование по частям
§ 181. Интегрирование рациональных дробей
§ 182. Интеграл вида (ф-ла)
§ 183. Формула Симпсона приближенного выражения определенных интегралов
Заключение
Глава XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Продолжение главы XII)
§ 184. Уравнения с отделяющимися переменными
§ 185. Геометрическое толкование общего и частного интеграла
§ 186. Задачи на составление диференциальных уравнений
§ 187. Однородные уравнения
§ 188. Линейные диференциальные уравнения
Заключение
ЧАСТЬ III. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ВТОРОЙ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 189. Полярные координаты
§ 190. Уравнения некоторых кривых в полярной системе координат
§ 191. Преобразование декартовых координат в полярные и наоборот
§ 192. Другие примеры построения кривых, заданных полярными уравнениями
§ 193. Полярное уравнение конических сечений
§ 194. Параметрические уравнения кривых
§ 195. Неявная функция; диференицирование ее
Уравнение касательной и нормали к кривой
§ 196. Уравнение касательной к кривой
§ 197. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе
§ 198. Нормаль; уравнения нормалей к эллипсу, гиперболе и параболе
§ 199. Длины подкасательной и поднормали, касательной и нормали
§ 200. Определение угла между касательной к кривой, заданной уравнением в полярной форме и радиусом вектором данной точки на кривой
§ 201. Выражение производной кривой, заданной параметрическими уравнениями
§ 202. Предел отношения дуги к хорде
§ 203. Выражение производной и диференциала дуги кривой в декартовых координатах
§ 204. Диференциал дуги в полярных координатах
§ 205. Понятие о кривизне кривой. Формула кривизны. Радиус кривизны
§ 206. Формулы кривизны и радиуса кривизны кривой
§ 207. Площадь кривой, заданной в полярных координатах
§ 208. Примеры вычисления площади кривой, заданной параметрическими уравнениями
§ 209. Длина дуги кривой
§ 210. Объем тела вращения
§ 211. Формула поверхности тела вращения
§ 212. Заключение
Глава XX. РАСШИРЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 213. Нормальное уравнение прямой на плоскости
§ 214. Общее уравнение прямой. Приведение уравнения общего вида к нормальному
§ 215. Определение расстояния точки до прямой
§ 216. Нормальное уравнение плоскости
§ 217. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду
§ 218. Следы плоскости на координатных плоскостях
§ 219. Уравнение плоскости в отрезках
§ 220. Определение угла между двумя плоскостями
§ 221. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
§ 222. Задачи, относящиеся к плоскости
§ 223. Прямая линия в пространстве
§ 224. Задачи на прямую и плоскость в пространстве
§ 225. Геометрическое значение уравнений. Диференциал ее дуги
§ 226. Пространственная кривая
§ 227. Направление пространственной кривой. Диференциал ее дуги
§ 228. Уравнение касательной линии и нормальной плоскости к пространственной кривой
§ 229. Заключение
Глава XXI. ФУНКЦИЯ ДВУХ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 230. Функции многих переменных. Частные производные. Частные диференциалы. Полные диференциалы
§ 231. Кратное интегрирование
§ 232. Заключение
Глава XXII. ПОНЯТИЕ О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ. РЯД ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
§ 233. Предварительные замечания
§ 234. Формула Тейлора для целого многочлена
§ 235. Ряд Тейлора для произвольной функции
§ 236. Ряд Маклорена и применение его к разложению функций
Глава XXIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 237. Уравнения в точных диференциалах
§ 238. Интегрирующий множитель
§ 239. Простейшие диференциальные уравнения второго порядка
§ 240. Изгиб бруса
§ 241. Интегрирование диференциального уравнения изогнутой балки с одним концом, заделанным в стене, и другим свободным
ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ СПРАВОК
ОГЛАВЛЕНИЕ