Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Привалов Иван Иванович Интегральные уравнения. – 1935. – 248 с., ил.
Предисловие
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть первая. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
§ 1. Значение интегральных уравнений для приложений
§ 2. Колебание стержня. Интегральные уравнения Фредгольма
§ 3. Задача Дирихле
§ 4. Задача Коши. Интегральные уравнения Вольтерра II рода
§ 5. Уравнения Вольтерра как частный случай уравнений Фредгольма
§ 6. Задача Абеля. Интегральные уравнения Вольтерра I рода
§ 7. Регулярное ядро
§ 8. Случай многих переменных
§ 9. Неравенство Шварца
§ 10. Ортогональные функции
§ 11. Ортогонализация и нормирование
§ 12. Обобщенные коэффициенты Фурье
§ 13. Неравенство Бесселя
Задачи
Глава I. МЕТОД ИТЕРАЦИЙ
§ 1. Приложение метода итераций к уравнениям Фредгольма
§ 2. Итерированные ядра
§ 3. Резольвента
§ 4. Уравнения Вольтерра
§ 5. Интегральные уравнения резольвенты
Задачи
Глава II. ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
§ 1. Частный случай уравнения Фредгольма
§ 2. Общий случай
§ 3. Неравенство Адамара
§ 4. Сходимость рядов Фредгольма и переход к пределу
§ 5. Интегральные уравнения резольвенты
§ 6. Обоснование метода Фредгольма
§ 7. Единственность решения
§ 8. Первая теорема Фредгольма
§ 9. Вычисление коэффициентов рядов Фредгольма
§ 10. Фундаментальные числа
§ 11. Решение однородного уравнения. Вторая теорема Фредгольма
§ 12. Вывод из первой и второй теорем Фредгольма
§ 13. Ортогональность решений
§ 14. Третья теорема Фредгольма
§ 15. Вид знаменателя резольвенты для уравнения Вольтерра
§ 16. Квази-регулярные интегральные уравнения
§ 17. Ядро вида (ф-ла)
§ 18. Ядро вида (ф-ла)
§ 19. Особые интегральные уравнения
§ 20. Особое интегральное уравнение с ядром вида (ф-ла)
Задачи
Глава III. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ
§ 1. Интегральное уравнение тригонометрических функций
§ 2. Ортогональность фундаментальных функций
§ 3. Отсутствие мнимых фундаментальных чисел
§ 4. Существование фундаментального числа
§ 5. Спектр фундаментальных чисел
§ 6. Полюсы резольвенты
§ 7. Разложение ядра
§ 8. Спектр итераций ядра
§ 9. Разложение итераций ядра
§ 10. Замкнутое ядро
§ 11. Теорема Гильберта—Шмидта
§ 12. Разложение первой итерации ядра
§ 13. Разложение решения уравнения Фредгольма по фундаментальным функциям. Третья теорема Фредгольма
§ 14. Разложение резольвенты по фундаментальным функциям
§ 15. Классификация симметрических ядер
§ 16.Ядро вида К(х,s)·p(s), где К(х,s) — симметрическое ядро
§ 17. Теорема Мерсера
Задачи
Глава IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА К ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ
§ 1. Сходимость в среднем
§ 2. Критерий сходимости в среднем
§ 3. Почленное интегрирование ряда, сходящегося в среднем
§ 4. Минимальное свойство коэфициентов Фурье. Формула и неравенство Бесселя
§ 5. Сходимость в среднем ряда Фурье. Равенство замкнутости нормированной ортогональной системы
§ 6. Теорема Фишера—Рисса
§ 7. Уравнение Фредгольма I рода
§ 8. Существование фундаментального числа
§ 9. Сходимость в среднем к ядру К(х,s) соответствующего разложения по фундаментальным функциям
Часть вторая. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава I. ОБЩИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Формула Грина
§ 3. Функция Грина
§ 4. Фундаментальная теорема Гильберта
§ 5. Эквивалентность краевой задачи однородному линейному интегральному уравнению
§ 6. Краевая задача с симметрической функцией Грина
§ 7. Общие теоремы для краевой задачи с симметрической функцией Грина
§ 8. Случай отрицательных фундаментальных чисел
§ 9. Замечание относительно случая, когда r(х) в интервале (а,b) обращается в нуль
§ 10. Неоднородная краевая задача
§ 11. Особый случай краевой задачи
Глава II. РАЗЛИЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Колебание струны
§ 2. Распространение теплоты в брусе
§ 3. Некоторые вспомогательные результаты вариационного исчисления
§ 4. Минимум интеграла Дирихле
§ 5. Исследование второй вариации
Глава III. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
§ 1. Некоторые вспомогательные предложения теории потенциала
§ 2. Логарифмические потенциалы простого и двойного слоя
§ 3. Прерывность нормальной производной потенциала простого слоя
§ 4. Нормальная производная потенциала двойного слоя
§ 5. Внутренняя задача Дирихле
§ 6. Внешняя задача Дирихле
§ 7. Вторая граничная задача теории потенциала
§ 8. Третья граничная задача теории потенциала