Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Лаврентьев Михаил Алексеевич Основы вариационного исчисления. – 1935. – 400 с.: рис.
Предисловие ко второй части
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава V. Переход от экстремумов функций многих переменных к вариационным задачам
27. Функционал
28. Элементарное решение некоторых вариационных задач
29. Принцип Мопертюи—Эйлера. Аналогия между оптикой и механикой
30. Элементарное решение некоторых изопериметрических задач
31. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
32. Приложения
33. Метод счетного множества переменных
Глава VI. Обобщение основных понятий анализа
34. Дополнительные замечания об экстремумах функционалов
35. Абсолютный и относительный экстремум
36. Окрестности кривых. Сильный и слабый экстремум
37. Абстрактные пространства
38. Предельные соотношения в абстрактном пространстве
39. Функция точки абстрактного пространства
40. Линейные пространства
41. Диференциал функции на линейном пространстве
42. Экстремум функции точки линейного пространства
Глава VII. Функционалы и вариация
43. Функциональные пространства
44. Компактность в функциональных пространствах
45. Линейные функционалы и вариации
46. Вариации для простейшего функционала
47. Основные леммы вариационного исчисления
48. Вариация в точке. Инвариантность уравнения Эйлера
49. Вторая вариация и условие Лежандра
ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ВАРИАЦИЙ
Глава VIII. Непосредственные обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
50. Пространственная задача
51. Вариация в точке в данном направлении. Принцип Гамильтона
52. Вторая вариация. Условия Лежандра
53. Свободные концы. Случай конца, перемещающегося по ординате
54. Условие трансверсальности
55. Диференциал в нелинейном метрическом пространстве
56. Вариация интегралов от экстремалей
57. Случай свободных концов в пространственной задаче
58. Случай производных высшего порядка
59. Случай функций многих переменных
Глава IX. Условный экстремум
60. Изопериметрическая задача
61. Правило множителей Эйлера—Лагранжа
62. Условие Лежандра
63. Условный экстремум
64. Трансверсальность
65. Применение к теории геодезических
66. Условный экстремум (неголономные связи)
Глава X. Вариационные задачи в параметрической форме
67. Параметрическая форма задания кривых
68. Условия однородности
69. Экстремумы функций от линии
70. Обобщения и приложения
71. Замкнутые экстремали. Метод нормальных вариаций
72. Приложения к теории геодезических
Глава XI. Разрывные задачи
73. Ломаные экстремали
74. Преломление экстремалей
75. Отражение экстремалей
76. Случай свободных концов
Глава XII. Односторонние вариации
77. Односторонние вариации для простейшей задачи
78. Задача Ньютона (поверхность вращения наименьшего сопротивления)
79. Пространственная задача
СЕМЕЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЕЙ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Глава XIII. Вторая вариация и линейные вариационные задачи
80. Предварительные замечания
81. Существование минимума квадратических функционалов
82. Уравнение Штурма—Лиувилля
83. Условия положительности формы
84. Слабый экстремум
85. Уравнения в вариациях
86. Геометрическая теория сопряженных точек
87. Экстремальная теория собственных значений
88. Минимаксные экстремали
89. Теория Лежандра—Якоби квадратических функционалов
90. Квадратический функционал J_ab как предел конечных квадратических форм
91. Вторая вариация для изопериметрической задачи
92. Уравнение в вариациях и сопряженные точки для изопериметрической задачи
Глава XIV. Теория поля и достаточные условия сильного экстремума
93. Геометрия экстремалей
94. Поле экстремалей и трансверсали
95. Теория Кнезера
96. Условия Якоби
97. Геодезические эллипс и гипербола
98. Метод интегрирования Якоби
99. Функция Вейерштрасса
100. Необходимые условия Вейерштрасса
101. Достаточные условия сильного экстремума
102. Теорема Осгуда
Дополнение I. Экстремальные свойства выпуклых тел
1. Общие замечания
2. Выпуклое симметрическое тело в целочисленной сети
3. Экстремальные свойства треугольника
4. Об экстремуме отношения объемов выпуклого тела и заключенного в нем центрально-симметрического тела
Дополнение II. О некоторых экстремальных задачах теории конформных отображений
Примеры функционалов
Качественные принципы
Бесконечно малые вариации
Специальная вариация границы
Максимальное растяжение
Проблема коэффициентов
Дополнение III. Применение метода Ритца к доказательству существования решений уравнения Штурма—Лиувилля
Указатель