Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Сикорский Юрий Станиславович Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике. – 1936. – 365 с.: ил., табл.
Предисловие
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 1. Задача о колебаниях маятника
§ 2. Эллиптические интегралы первого рода
§ 3. Дуга эллипса и эллиптические интегралы второго и третьего рода
§ 4. Преобразование эллиптических интегралов к новым переменным. Высшие трансцендентные
§ 5. Функции sn, cn и dn
§ 6. Периодичность функций Якоби. Четность и нечетность. Формулы «приведения»
§ 7. Вторая группа формул «приведения»
§ 8. Производные от функций Якоби. Дифференциальные уравнения функций Якоби
§ 9. Некоторые приложения
§ 10. Выражение угла отклонения маятника, его угловой скорости и координат центра качания через эллиптические функции
§ 11. Случаи вырождения эллиптических функций
§ 12. Графики функций sn u, cn u и dn u
§ 13. Приближенное вычисление периода колебаний маятника
§ 14. Преобразование Ландена
§ 15. Вычисление амплитуд
§ 16. Приведение формулы (26) к логарифмическому виду
§ 17. Пример
§ 18. Об одном свойстве интегралов первого и второго рода
§ 19. Вычисление полного интеграла (ф-ла)
§ 20. Преобразование Ландена (продолжение)
§ 21. Таблицы эллиптических интегралов и их применение (табл. 1)
§ 22. Интерполяционная формула
§ 23. Таблицы 2 и 3
§ 24. Эллиптические интегралы с модулем, большим единицы
§ 25. Формула сложения для функции sn
§ 26. Формулы сложения для функций cn и dn. Формулы вычитания
§ 27. Формулы умножения и деления аргумента на 2
§ 28. Функции sn, cn и dn от чисто мнимого аргумента
§ 29. Функции sn, cn и dn от комплексного аргумента
§ 30. Теорема сложения в общем виде. Формулы «приведения»
§ 31. Двоякопериодичность якобиевых функций
§ 32. Параллелограмм периодов. Конгруэнтные точки
§ 33. Нули и полюсы якобиевых функций
§ 34. Поведение якобиевых функций на сторонах и средних линиях параллелограмма периодов
§ 35. Вычисление значений функций sn u, cn u и dn u
§ 36. Вычисление u, когда даны su u и модуль k
§ 37. Вычисление u, когда даны cn u или dn u и модуль k
Упражнения
Глава II. Приложения эллиптических функций и интегралов
§ 38. Задача о продольном изгибе
§ 39. Определение критической сжимающей силы
§ 40. Численный пример
§ 41. Движение шатуна паровой машины
§ 42. Центроиды шатуна
§ 43. Относительное движение стержня в трубке, движущейся в горизонтальной плоскости
§ 44. Форма вращающейся нити, прикрепленной к оси вращения двумя концами
§ 45. Случай, когда точки прикрепления нити лежат не на оси вращения
Глава III. Краткие сведения из теории функций комплексного переменного
§ 46. Предварительные сведения. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана
§ 47. Окрестность точки. Область
§ 48. Пределы. Функции. Геометрическое изучение их. Непрерывные функции
§ 49. Производная функции комплексного переменного. Уравнения Коши—Римана
§ 50. Интеграл от функции комплексного переменного
§ 51. Теорема Коши
§ 52. Интеграл и первообразная функция
§ 53. Формула Коши
§ 54. Производные высших порядков от аналитической функции
§ 55. Ряды с комплексными членами
§ 56. Функции e^z, sin z и cos z
§ 57. Ряд Тейлора
§ 58. Ряд Лорана
§ 59. Нули и полюсы. Существенно особые точки
§ 60. Теорема о вычетах
§ 61. Теорема о разности между числом нулей аналитической функции и числом ее полюсов
§ 62. Теорема о разности между суммой нулей аналитической функции и суммой ее полюсов
§ 63. Целые функции. Теорема Лиувилля. Мероморфные функции
§ 64. Эллиптические функции Якоби
§ 65. Особые точки якобиевых функций
§ 66. Разложение якобиевых функций в ряды Тейлора и Лорана
§ 67. Многозначные функции. Точки разветвления
§ 68. Исследование интеграла (ф-ла)
§ 69. Исследование интеграла (ф-ла)
Глава IV. Функции Вейерштрасса
§ 70. Эллиптические функции. Теория Вейерштрасса
§ 71. Эллиптический интеграл в нормальной форме Вейерштрасса. Функция Pu Вейерштрасса
§ 72. Дискриминант (ф-ла) и корни: e_1, e_2 и e_3
§ 73. Выражение вейерштрассовой функции Pu через якобиевы
§ 74. Случай, когда Delta<0
§ 75. Случай, когда Delta=0
§ 76. Формула однородности функции Pu и одно ее применение
§ 77. Периоды функции Pu в случае, когда Delta>0
§ 78. Периоды функции Pu в случае, когда Delta<0
§ 79. Примеры вычисления периодов
§ 80. Вычисление значений функции Pu
§ 81. Формула сложения для функции Pu
§ 82. Функция P от комплексного аргумента
§ 83. Зависимость между корнями e_1, e_2 и e_3 и полупериодами
§ 84. Результат прибавления полупериода к независимой переменной функции Pu
§ 85. График функции Pu и ее первая производная
§ 86. Поведение функции Pu в комплексной плоскости
§ 87. Вычисление аргумента u, когда дано P(u; g_2, g_3)
§ 88. Примеры.
§ 89. Производные высших порядков функции Pu
§ 90. Формулы удвоения аргумента функции Pu
§ 91. Разложение функции Pu в ряд Лорана
§ 92. Функции zeta u и sigma u
§ 93. Формула сложения для функции zeta
§ 94. Формула сложения для функции sigma
§ 95. Формула однородности функций sigma u и zeta u
§ 96. Результат прибавления периода к независимой переменной u функций zeta u и sigma u
§ 97. Соотношение между полупериодами и постоянными eta_1 и eta_2
§ 98. Кофункции sigma_1u, sigma_2u и sigma_3u. Их нули и нули функции sigma u
§ 99. График функции zeta u
§ 100. Вычисление значений функции zeta u
Упражнения
Глава V. Тэта-функции
§ 101. Разложение функций в бесконечные произведения
§ 102. Тэта-функции
§ 103. Выражения эллиптических функций через тэта-функции
§ 104. Ранние обозначения Якоби для тэта-функций
§ 105. Разложение тэта-функций в ряды Фурье
§ 106. Вычисление величины q
§ 107. Вычисление значений тэта-функций
§ 108. Вычисление значений функций sn u, cn u и dn u
§ 109. Выражения значений theta(0) и theta(K) в конечном виде
§ 110. Вычисление полного интеграла K
§ 111. Вычисление эллиптических интегралов первого рода, когда даны амплитуда phi и модуль k
§ 112. Обратная задача
§ 113. О некоторых свойствах тэта-функций
§ 114. Выражение нормального эллиптического интеграла второго рода через тэта-функцию
§ 115. Вычисление эллиптических интегралов второго рода
§ 116. Выражение нормального эллиптического интеграла третьего рода через тэта-функцию
§ 117. Соотношения между функциями sigma u, ... и ... и функциями H и theta Якоби
§ 118. Вычисление постоянных eta_1 и eta_3
§ 119. Примеры вычисления значений вейерштрассовых функций в случае, когда дискриминант Delta > 0
§ 120. Вычисление значений функции Pu в случае, когда дискриминант Delta < 0
§ 121. Вычисление значений функций zeta u и sigma u при Delta < 0. Вычисление постоянных eta_2 и eta'_2
§ 122. Решения уравнения Pu = a
Упражнения
Глава VI. Эллиптические интегралы в общем виде
§ 123. Общий вид эллиптического интеграла. Его преобразование
§ 124. Приведение эллиптических интегралов к нормальной форме
§ 125. Интегрирование посредством эллиптических функций Якоби
§ 126. Интегрирование посредством функций Вейерштрасса
§ 127. Интегрирование функций, рациональных относительно Pu
§ 128. Случай функции, рациональной относительно Pu и P'u
Упражнения
Глава VII. Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций к задачам механики
§ 129. Приложение функции Вейерштрасса к изучению колебаний маятника
§ 130. Сферический маятник
§ 131. Исследование вида траектории
§ 132. Вычисление координаты z и угла phi
§ 133. Вращение волчка. Предварительные сведения из механики
§ 134. Дифференциальные уравнения движения тела вращения, подвешенного в одной из точек своей оси, и их первые интегралы
§ 135. Вычисление эйлеровых углов theta, psi и phi
§ 136. Движение регулятора Уатта
§ 137. Притяжение точки однородным эллипсоидом
§ 138. Прямолинейное движение точки под влиянием отталкивающего центра
§ 139. Движение точки по гладкой прямой вследствие действия постоянной притягивающей силы
§ 140. Движение тяжелой точки по параболе с вертикальной осью
§ 141. Движение точки в среде, сопротивление которой пропорционально кубу скорости
§ 142. Исчисление времени. Разложение выражений для y и t в ряды
Глава VIII. Эллиптические функции в общем случае
§ 143. Общее определение эллиптической функции
§ 144. Теоремы о числе полюсов эллиптической функции
§ 145. Теорема о разности между суммой нулей и суммой полюсов эллиптической функции
§ 146. Соотношения между двумя эллиптическими функциями
§ 147. Теорема сложения для функций sn u, cn u и dn u
§ 148. Выражение функции Pu при помощи ее периодов
§ 149. Выражения функций zeta u и sigma u при помощи периодов
§ 150. Новое определение функций Pu, zeta u и sigma u
§ 151. Аналитическое выражение эллиптической функции в общем случае
§ 152. Второй способ аналитического выражения эллиптической функции
Сводка наиболее важных формул
Приложения (таблицы)
Таблица 1. Эллиптические интегралы первого рода
Таблица 2. Эллиптические интегралы второго рода
Таблица 3. Полные эллиптические интегралы первого и второго рода
Таблица 4. Логарифмы q