Публикация ННР Тригонометрические ряды

Бари Нина Карловна Тригонометрические ряды. – 1961. – 936 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Обозначения
ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
- I. Теоремы из анализа
- II. Числовые ряды, суммирование
- III. Неравенства для чисел, рядов и интегралов
- IV. Теория множеств и теория функций
- V. Функциональный анализ
- VI. Теория приближения функций тригонометрическими полиномами
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
- § 1. Понятие о тригонометрическом ряде; сопряженные ряды
- § 2. Комплексная форма тригонометрического ряда
- § 3. Краткие исторические сведения
- § 4. Формулы Фурье
- § 5. Комплексная форма ряда Фурье
- § 6. Проблемы теории рядов Фурье; ряды Фурье—Лебега
- § 7. Разложение в тригонометрический ряд функций с периодом 2l
- § 8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- § 9. Ряд Фурье по ортогональной системе
- § 10. Полнота ортогональной системы
- § 11. Полнота тригонометрической системы в пространстве L
- § 12. Равномерно сходящиеся ряды Фурье
- § 13. Минимальное свойство частных сумм ряда Фурье; неравенство Бесселя
- § 14. Сходимость ряда Фурье в метрике L^2
- § 15. Понятие о замкнутости системы. Связь между замкнутостью и полнотой
- § 16. Теорема Фишера—Рисса
- § 17. Теорема Фишера—Рисса и равенство Парсеваля для тригонометрической системы
- § 18. Равенство Парсеваля для произведения двух функций
- § 19. Стремление к нулю коэффициентов Фурье
- § 20. Лемма Фейера
- § 21. Оценка коэффициентов Фурье через интегральный модуль непрерывности функции
- § 22. Коэффициенты Фурье для функций с ограниченным изменением
- § 23. Формальные операции над рядами Фурье
- § 24. Ряды Фурье от многократно дифференцируемых функций
- § 25. О коэффициентах Фурье для аналитических функций
- § 26. Простейшие случаи абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье
- § 27. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими полиномами
- § 28. Плотность класса тригонометрических полиномов в пространствах (ф-ла)
- § 29. Ядро Дирихле и сопряженное с ним ядро
- § 30. Ряды по синусам или по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами
- § 31. Интегральные выражения для частных сумм ряда Фурье и сопряженного ряда
- § 32. Упрощение выражений для (ф-ла)
- § 33. Принцип локализации Римана
- § 34. Теорема Штейнгауза
- § 35. Интеграл (ф-ла). Константы Лебега
- § 36. Оценка частных сумм ряда Фурье от ограниченной функции
- § 37. Критерий сходимости ряда Фурье
- § 38. Признак Дини
- § 39. Признак Жордана
- § 40. Интегрирование рядов Фурье
- § 41. Явление Гиббса
- § 42. Определение величины скачка функции по ее ряду Фурье
- § 43. Особенности рядов Фурье от непрерывных функций. Полиномы Фейера
- § 44. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся всюду, но неравномерно
- § 45. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся в одной точке (пример Фейера)
- § 46. Расходимость в одной точке (пример Лебега)
- § 47. Суммирование, ряда Фурье методом Фейера
- § 48. Следствия теоремы Фейера
- § 49. Теорема Фейера—Лебега
- § 50. Оценка частных сумм ряда Фурье
- § 51. Множители сходимости
- § 52. Сравнение ядер Дирихле и Фейера
- § 53. Суммирование рядов Фурье методом Абеля—Пуассона
- § 54. Ядро Пуассона и интеграл Пуассона
- § 55. Поведение интеграла Пуассона в точках непрерывности функции
- § 56. Поведение интеграла Пуассона в общем случае
- § 57. Проблема Дирихле
- § 58. Суммирование методом Пуассона продифференцированного ряда Фурье
- § 59. Интеграл Пуассона—Стилтьеса
- § 60. Фейеровские и пуассоновские суммы для различных классов функций
- § 61. Общие тригонометрические ряды. Теоремы Лузина—Данжуа
- § 62. Теорема Кантора—Лебега
- § 63. Пример всюду расходящегося ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю
- § 64. Изучение сходимости одного класса тригонометрических рядов
- § 65. Лакунарные последовательности и лакунарные ряды
- § 66. Гладкие функции
- § 67. Вторая производная Шварца
- § 68. Метод суммирования Римана
- § 69. Приложение метода суммирования Римана к рядам Фурье
- § 70. Теорема единственности Кантора
- § 71. Принцип локализации Римана для общих тригонометрических рядов
- § 72. Теорема дю Буа-Реймона
Глава II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
- § 1. Введение
- § 2. Порядок коэффициентов Фурье для функций с ограниченным изменением. Критерий для непрерывности функции с ограниченным изменением
- § 3. О коэффициентах Фурье для функций из класса Lip а
- § 4. Связь между степенью суммируемости функции и коэффициентами Фурье
- § 5. Обобщение равенства Парсеваля для произведения двух функций
- § 6. О скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье от суммируемых функций
- § 7. Вспомогательные теоремы о системе Радемахера
- § 8. Отсутствие критериев, налагаемых на модули коэффициентов
- § 9. Некоторые необходимые условия для коэффициентов Фурье
- § 10. Необходимые и достаточные условия Салема
- § 11. Тригонометрическая проблема моментов
- § 12. Коэффициенты тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами
- § 13. Преобразования рядов Фурье
Глава III. СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
- § 1. Введение
- § 2. Сравнение признаков Дини и Жордана
- § 3. Признак Валле-Пуссена, сравнение его с признаками Дини и Жордана
- § 4. Признак Юнга
- § 5. Взаимоотношения между признаком Юнга и признаками Дини, Жордана, Валле-Пуссена
- § 6. Признак Лебега
- § 7. Сравнение признака Лебега со всеми предыдущими
- § 8. Признак Лебега—Гергена
- § 9. О необходимых условиях сходимости в точке
- § 10. Достаточные признаки сходимости в точке при дополнительных ограничениях на коэффициенты ряда
- § 11. Замечание о равномерной сходимости ряда Фурье на некотором отрезке
Глава IV. РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
- § 1. Введение
- § 2. Достаточные условия для равномерной сходимости, выраженные через коэффициенты Фурье
- § 3. Достаточное условие для равномерной сходимости в терминах наилучших приближений
- § 4. Признак Дини—Липшица
- § 5. Признак Салема. Функции с Phi-ограниченным изменением
- § 6. Тождество Рогозинского
- § 7. Признак равномерной сходимости, использующий обынтегрированный ряд
- § 8. Обобщение признака Дини—Липшица (в интегральной форме)
- § 9. Равномерная сходимость на отрезке [а, b]
- § 10. Признаки Сато
- § 11. О равномерной сходимости около каждой точки отрезка
- § 12. Об операциях над функциями для получения равномерно сходящихся рядов Фурье
- § 13. О равномерной сходимости при расстановке знаков у членов ряда
- § 14. Экстремальные свойства некоторых тигонометрических полиномов
- § 15. Подбор аргументов при заданных модулях членов ряда
- § 16. О коэффициентах Фурье от непрерывных функций
- § 17. Об особенностях рядов Фурье от непрерывных функций
- § 18. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся неравномерно во всяком интервале
- § 19. О множестве точек расходимости для тригонометрического ряда
- § 20. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся на множестве мощности континуума
- § 21. Расходимость на заданном счетном множестве
- § 22. Расходимость на множестве мощности континуума при ограниченности частных сумм
- § 23. Расходимость для ряда от (ф-ла)
- § 24. Подпоследовательности частных сумм рядов Фурье от непрерывных функций
- § 25. Разбиение на сумму двух рядов, сходящихся на множествах положительной меры
Глава V. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ
- § 1. Введение
- § 2. Теорема Колмогорова—Селиверстова и Плесснера
- § 3. Признак сходимости, выраженный через первые разности коэффициентов
- § 4. Множители сходимости
- § 5. Другие формы условия, входящего в теорему Колмогорова—Селиверстова и Плесснера
- § 6. Следствия теоремы Плесснера
- § 7. Об эквивалентности некоторых условий, выражаемых через интегралы и через ряды
- § 8. Признак сходимости почти всюду для функций из (ф-ла)
- § 9. Выражение условий сходимости почти всюду через квадратичные модули непрерывности и наилучшие приближения
- § 10. Признаки сходимости почти всюду на отрезке длины, меньшей чем 2pi
- § 11. Индексы сходимости
- § 12. Выпуклая емкость множеств
- § 13. Признак сходимости, использующий обынтегрированный ряд
- § 14. Признак Салема
- § 15. Признак Марцинкевича
- § 16. Признак сходимости, выраженный через логарифмическую меру множества
- § 17. Ряды Фурье, расходящиеся почти всюду
- § 18. Невозможность усиления признака Марцинкевича
- § 19. О ряде, сопряженном к почти всюду расходящемуся ряду Фурье
- § 20. Ряд Фурье, расходящийся в каждой точке
- § 21. О принципе локализации для множества
- § 22. О сходимости ряда Фурье на заданном множестве и расходимости вне его
- § 23. Проблема сходимости и принцип локализации для рядов Фурье с переставленными членами
Глава VI. «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
- § 1. Введение
- § 2. Две элементарные леммы
- § 3. Лемма о множителе Дирихле
- § 4. «Исправление» функции для получения равномерно сходящегося ряда Фурье
- § 5. Усиленное С-свойство
- § 6. Проблемы, связанные с «исправлением» функций
- § 7. «Исправление» суммируемой функции вне заданного совершенного множества
Глава VII. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСОВ О СХОДИМОСТИ
- § 1. Введение
- § 2. Применение к рядам Фурье методов суммирования с треугольными матрицами
- § 3. Суммирование рядов Фурье методами (С, а)
- § 4. Метод суммирования Бернштейна—Рогозинского
- § 5. Метод суммирования Лебега
- § 6. Понятие сильной суммируемости и суммируемости (H, k)
- § 7. Суммируемость (H, k) для рядов Фурье от функций из класса (ф-ла)
- § 8. Суммируемость (H, 2)
- § 9. Суммируемость (H, k) с переменным показателем
- § 10. Об одном видоизменении понятия сильной суммируемости
- § 11. Усиленная сходимость функционального ряда
- § 12. Усиленная сходимость тригонометрических рядов
- § 13. Суммируемость (С*, 0)
Глава VIII. СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
- § 1. Введение.
- § 2. Сходимость в точке; признак Дини
- § 3. Принцип локализации
- § 4. Теорема Юнга
- § 5. Суммируемость (С, 1) ряда (ф-ла)
- § 6. Суммируемость методом Абеля—Пуассона
- § 7. Существование сопряженной функции
- § 8. Смысл существования сопряженной функции
- § 9. Критерий Лузина для сходимости рядов Фурье от функций с интегрируемым квадратом
- § 10. Условия для того, чтобы два сопряженных ряда были рядами Фурье
- § 11. Коэффициенты степенного ряда для функций класса Н_1
- § 12. Степенные ряды с ограниченным изменением
- § 13. Свойства двух сопряженных функций
- § 14. Функции класса L^p. Теорема М.Рисса
- § 15. Теорема Зигмунда
- § 16. Суммируемость ( ф-ла)
- § 17. Ряды Фурье для сопряженных суммируемых функций
- § 18. A-интеграл и сопряженные ряды
- § 19. Равномерная сходимость двух сопряженных рядов
- § 20. Сходимость в метрике L^p
- § 21. Случай р < 1
- § 22. Проблема сходимости в метрике L
- § 23. Сходимость сопряженных рядов на множестве положительной меры
Глава IX. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
- § 1. Введение
- § 2. Достаточные условия в терминах модулей непрерывности и наилучших приближений
- § 3. Случай функций с ограниченным изменением
- § 4. Необходимые условия
- § 5. Общие замечания о связи между модулем непрерывности функции и абсолютной сходимостью ее ряда Фурье
- § 6. Критерий абсолютной сходимости Шилова
- § 7. Критерий абсолютной сходимости М.Рисса
- § 8. Критерий абсолютной сходимости Стечкина
- § 9. Простейшие операции над функциями с абсолютно сходящимися рядами Фурье
- § 10. Роль локальных свойств функции в абсолютной сходимости
- § 11. Суперпозиции функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье
- § 12. Некоторые обобщения вопроса об абсолютной сходимости
Глава X. РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
- § 1. Введение
- § 2. Условия для того, чтобы ряды с монотонными коэффициентами были рядами Фурье
- § 3. Ряды Фурье для функций из класса L^p
- § 4. А-интегрируемость сумм рядов с монотонными коэффициентами
- § 5. Суммируемость (ф-ла)
- § 6. Равенство Рисса
- § 7. Поведение около точки х = 0
- § 8. Дифференциальные свойства функций f(x) и (ф-ла)
- § 9. Ряды с монотонными коэффициентами для функций из класса Lip а
Глава XI. ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
- § 1. Введение
- § 2. Свойства лакунарных последовательностей
- § 3. Лакунарные ряды, суммируемые на множестве положительной меры .
- § 4. Поведение суммы лакунарного ряда там, где она существует
- § 5. Степень суммируемости функций, определяемых лакунарными рядами Фурье
- § 6. Непрерывные функции с лакунарными рядами Фурье
- § 7. Абсолютная сходимость лакунарных рядов
- § 8. Теорема Зигмунда
- § 9. Лакунарные ряды, сходящиеся на множестве не первой категории
- § 10. Теорема Эрдеша
- § 11. Теорема единственности для лакунарных рядов
- § 12. О наилучшем приближении функций, заданных лакунарными тригонометрическими рядами
- § 13. Локальные теоремы для обобщенных лакунарных рядов
Глава XII. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
- § 1. Введение
- § 2. Коэффициенты всюду расходящихся тригонометрических рядов
- § 3. Расходимость на множестве второй категории
- § 4. Множества типа R
- § 5. Множества типа Н
- § 6. Множества типа (ф-ла). Теорема Райхмана
- § 7. Достаточные условия для R-множеств
- § 8. Базисы
- § 9. О мере Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа для R-множеств
- § 10. Необходимый признак для замкнутых R-множеств
- § 11. Сумма двух R-множеств
Глава XIII. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
- § 1. Введение
- § 2. Влияние точек абсолютной сходимости на сходимость ряда
- § 3. Теорема Лузина о категории множества точек абсолютной сходимости
- § 4. Простейшие свойства N-множеств. Редукция к ряду из синусов
- § 5. Базисы и абсолютная сходимость
- § 6. Общие свойства N- и R-множеств
- § 7. Взаимоотношение между классами множеств N, N_0 и R
- § 8. Сумма двух N-множеств
- § 9. Дополнение Салема к теореме Лузина—Данжуа
- § 10. Выпуклая емкость множеств и абсолютная сходимость
- § 11. Абсолютная сходимость для рядов специального вида
Глава XIV. ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
- § 1. Введение
- § 2. Вспомогательные теоремы о верхней и нижней производной Шварца
- § 3. Законность почленного интегрирования тригонометрического ряда
- § 4. Обобщение теоремы дю Буа-Реймона; теорема Валле—Пуссена
- § 5. Теорема Юнга. Постановка проблемы единственности
- § 6. Свойства нуль-рядов; сумма замкнутых U-множеств
- § 7. H-множества. Теорема Райхмана
- § 8. Множества типа Н*
- § 9. Подобное преобразование U-множеств
- § 10. Преобразование U-множества в М-множество
- § 11. Критерий для совершенных М-множеств
- § 12. Пример Меньшова
- § 13. Достаточные условия для М-множеств
- § 14. Достаточные условия для замкнутых U-множеств
- § 15. Множества типа H^(s)
- § 16. Существование U-множества, не содержащегося ни в каком H^(s)
- § 17. О точности достаточных условий для совершенных М-множеств
- § 18. М-множества в узком смысле
- § 19. Симметричные совершенные множества
- § 20. Совершенные множества «с постоянным отношением»
- § 21. Несимметричные совершенные множества «с постоянным разбиением»
- § 22. Краткий обзор результатов, относящихся к симметричным совершенным множествам с переменным отношением .
- § 23. Проблемы, связанные с классификацией множеств меры нуль
- § 24. О быстроте стремления к нулю коэффициентов нуль-ряда
- § 25. О единственности для различных методов суммирования
- § 26. Множества относительной единственности
- § 27. Множества относительной единственности для различных методов суммирования
Глава XV. ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ
- § 1. Введение
- § 2. Изображение функции, конечной почти всюду
- § 3. Изображение функций, обращающихся в (ф-ла) или (ф-ла) на множестве положительной меры
- § 4. О пределах неопределенности частных сумм тригонометрического ряда
- § 5. О множестве предельных функций для тригонометрического ряда
- § 6. Универсальные тригонометрические ряды
- § 7. Сходимость по мере тригонометрических рядов
ДОБАВЛЕНИЯ
- К главе II
- К главе IV
- К главе V
- К главе VII
- К главе VIII
- К главе X
- К главе XI
- К главе XII
- К главе XIII
- К главе XIV
Библиография
Алфавитный указатель