Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Власов Алексей Константинович Курс высшей математики. – 1945. – 504 с.: ил.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. Значение математики и предварительный обзор её основных понятий
§ 1. Отношение математики к наукам о природе и наукам прикладным
§ 2. Число и вычисление
§ 3. Прямые действия над целыми числами. Законы вычисления
§ 4. Обратные действия и путь обобщения понятия числа
§ 5. Дробные числа
§ 6. Величина и измерение. Рациональные и иррациональные числа
§ 7. Нуль и отрицательные числа. Полный ряд действительных чисел
§ 8. Постоянные и переменные величины. Функция
§ 9. Предел
§ 10. Методы математики
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА I. Метод координат
§ 1. Предмет аналитической геометрии
§ 2. Определение положения точки на прямой
§ 3. Определение положения точки на плоскости
§ 4. Определение положения точки в пространстве
§ 5. Расстояние между двумя точками
§ 6. Вычисление координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении
§ 7. Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин
§ 8. Переменные (текущие) координаты. Геометрическое значение уравнений
§ 9. Примеры составления уравнения данной линии
§ 10. Примеры построения линии по данному уравнению, связывающему текущие координаты
Упражнения
ГЛАВА II. Прямая линия
§ 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
§ 2. Определение угла между двумя прямыми, данными своими уравнениями
§ 3. Уравнение прямой в отрезках
§ 4. О проекциях
§ 5. Нормальное уравнение прямой
§ 6. Определение расстояния точки от прямой
§ 7. Уравнение прямой данного направления, проходящей через данную точку
§ 8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
§ 9. Общий обзор и постановка различных задач относительно прямой
§ 10. Обобщения на случай косоугольной системы координат
Упражнения
ГЛАВА III. Окружность
§ 1. Различные виды уравнения окружности
§ 2. Степень точки относительно окружности
§ 3. Радикальная ось
§ 4. Пучок окружностей
Упражнения
ГЛАВА IV. Эллипс, гипербола и парабола
§ 1. Конические сечения
§ 2. Составление уравнения эллипса
§ 3. Исследование уравнения эллипса. Определение вида этой кривой
§ 4. Построение фокусов эллипса. Эксцентриситет
§ 5. Составление уравнения гиперболы
§ 6. Исследование уравнения гиперболы. Определение вида этой кривой
§ 7. Построение гиперболы
§ 8. Директрисы эллипса
§ 9. Директрисы гиперболы
§ 10. Касательные к эллипсу
§ 11. Касательные к гиперболе
§ 12. Составление уравнения параболы
§ 13. Исследование уравнения параболы
§ 14. Построение точек параболы
§ 15. Касательные к параболе
§ 16. Делийская задача
Упражнения
Задачи на построение
ГЛАВА V. Очерк общей теории кривых второго порядка
§ 1. Преобразование координат
§ 2. Кривая второго порядка
§ 3. Бесконечно удалённые точки кривой второго порядка
§ 4. Преобразование уравнения кривой второго порядка при параллельном перенесении осей. Центр кривой
§ 5. Кривая, распадающаяся на пару прямых
§ 6. Главные оси кривой второго порядка
§ 7. Сопряжённые диаметры кривой второго порядка
§ 8. Преобразование уравнения кривой с центром в бесконечности
§ 9. Инварианты кривых второго порядка
§ 10. Применение инвариантов к упрощению уравнений кривых
§ 11. Заключение
Упражнения
ГЛАВА VI. Полярные координаты
§ 1. Основная мысль координатного определения положения точки на плоскости
§ 2. Полярная система координат
§ 3. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 4. Спирали
Упражнеиия
ГЛАВА VII. Метод координат в пространстве
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве
§ 2. Расстояние между двумя точками
§ 3. Вычисление координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении
§ 4. Теоремы о проекциях
§ 5. Определение направления прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми
§ 6. Преобразование координат
§ 7. Геометрическое значение уравнений
§ 8. Примеры составления уравнения данной поверхности
§ 9. Уравнение плоскости
§ 10. Определение угла между двумя плоскостями
§ 11. Уравнения прямой линии в пространстве
§ 12. Определение расстояния точки от плоскости
Упражнения
ГЛАВА VIII. Поверхности второго порядка
§ 1. Поверхности, представляемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
§ 2. Цилиндры
§ 3. Конус
§ 4. Эллипсоид
§ 5. Гиперболоиды
§ 6. Асимптотический конус
§ 7. Прямолинейные образующие гиперболоида первого рода
§ 8. Параболоиды
§ 9. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида
§ 10. Плоские сечения поверхности второго порядка
§ 11. Круговые сечения поверхностей второго порядка
Упражнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ, ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА I. Элементарные функции
§ 1. Функции и их определение
§ 2. Степень у = х^n
§ 3. Показательная функция у = а^х
§ 4. Логарифмическая функция y = log_a x
§ 5. Тригонометрические функции
§ 6. Круговые или циклометрические функции
Упражнения
ГЛАВА II. Основания учения о функциях. Теория пределов
§ 1. Бесконечно большие и бесконечно малые величины
§ 2. Предел
§ 3. Предложения о пределах суммы, произведения и частного
§ 4. Примеры нахождения пределов
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины различных порядков
§ 6. Непрерывность и прерывность функции
§ 7. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного в случае непрерывного изменения переменных
§ 8. Примеры разрывных функций
§ 9. Непрерывность элементарных функций
§ 10. Дополнительное определение показательной функции и логарифма; их непрерывность
§ 11. Основные свойства непрерывных функций
Упражнения
Повторительные вопросы
ГЛАВА III. Начала дифференциального исчисления. Дифференцирование рациональных функций
§ 1. Ход изменения функции
§ 2. Производная функция. Её геометрическое значение
§ 3. Вторая производная. Различный характер изгибов кривой линии
§ 4. Дифференциал и его геометрическое значение
§ 5. Производная степени и постоянного
§ 6. Общие правила дифференцирования функций
§ 7. Обозначение производных, введённое Лейбницем
§ 8. Пример изучения хода изменения функции и построения ее графика
§ 9. Механическое и физическое значения производных функций
Упражнения
ГЛАВА IV. Начала интегрального исчисления. Определённый и неопределённый интегралы
§ 1. Функции, имеющие одну и ту же производную. Теорема Ролля и теорема Лагранжа о конечных приращениях
§ 2. Постановка задачи интегрального исчисления
§ 3. Другое геометрическое значение начальной функции и её производной
§ 4. Определённый интеграл
§ 5. Неопределённый интеграл
§ 6. Основные свойства определённых интегралов
§ 7. Два общих правила неопределённого интегрирования
§ 8. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого интегрирования. Основное предложение интегрального исчисления
§ 9. Доказательство существования интеграла и первообразной функции независимо от геометрических интерпретаций
Упражнения
ГЛАВА V. Основные формулы дифференциального и интегрального исчислений
§ 1. Дифференцирование функции от функции
§ 2. Производная степени с дробным и отрицательным показателями
§ 3. Предел выражения ( 1+1/n)^n
§ 4. Производная показательной функции и соответствующая формула интегрального исчисления
§ 5. Производная логарифмической функции и соответствующая формула интегрального исчисления
§ 6. Графики показательной и логарифмической функций
§ 7. Применение показательной функции
§ 8. Производные тригонометрических функций и соответствующие формулы интегрального исчисления
§ 9. Графики функций: sin x, cos x, tg x и ctg x
§ 10. Производные обратных тригонометрических или круговых функций и соответствующие формулы интегрального исчисления
§ 11. Применение логарифмической производной при дифференцировании некоторых функций
§ 12. Таблица основных формул дифференциального и интегрального исчислений
§ 13. Общие правила неопределённого интегрирования. Способ подстановки. Интегрирование по частям
§ 14. Введение нового переменного и интегрирование по частям в применении к определённым интегралам
Повторительные вопросы
Упражнения
ГЛАВА VI. Дополнения к теории определенных интегралов (Обобщения, приближённое вычисление и оценка.)
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами
§ 2. Интегралы прерывных функций
§ 3. Механические квадратуры. Формула трапеций и формула Симпсона
§ 4. Оценка значения определённого интеграла
Упражнения
ГЛАВА VII. Приложения интегрального исчисления к геометрии
§ 1. Квадратура площадей в прямоугольных и косоугольных координатах
§ 2. Вычисление площади, ограниченной замкнутой кривой линией
§ 3. Случай параметрического представления кривой
§ 4. Квадратура криволинейного сектора в полярных координатах
§ 5. Площадь криволинейного сектора при параметрическом представлении кривой
§ 6. Спрямление дуги плоской кривой линии
§ 7. Элемент дуги плоской кривой
§ 8. Спрямление дуги кривой при параметрическом представлении кривой и в полярных координатах
§ 9. Спрямление дуги пространственной кривой
§ 10. Кубатура тел
§ 11. Компланация поверхности вращения
§ 12. Механическое и физическое значения определённого интеграла
Упражнения
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ПЕРВОГО ТОМА
Алфавитный указатель