Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Власов Алексей Константинович Курс высшей математики. – 1945. – 531 с.: ил.
СОДЕРЖАНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
ГЛАВА I. Основные понятия и положения высшей алгебры
§ 1. Задача высшей алгебры
§ 2. Формулы Маклорена и Тэйлора для целых рациональных функций
§ 3. Разложение целой рациональной функции на множители
§ 4. Кратные корни уравнения
§ 5. Вопрос о числе корней уравнения
ГЛАВА II. Комплексные числа
§ 1. Вектор на плоскости и комплексное число
§ 2. Комплексное число как отношение двух векторов на плоскости
§ 3. Сложение векторов
§ 4. Сложение комплексных чисел
§ 5. Вычитание комплексных чисел
§ 6. Умножение комплексных чисел
§ 7. Деление комплексных чисел
§ 8. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа
§ 9. Тригонометрическая форма комплексных чисел
§ 10. Извлечение корня
§ 11. Понятие предела для комплексного переменного
§ 12. Комплексная величина как показательная функция амплитуды. Формула Эйлера
Упражнения
ГЛАВА III. Основное предложение высшей алгебры
§ 1. Целый многочлен как функция комплексного переменного
§ 2. Основное предложение высшей алгебры
§ 3. Уравнение с действительными коэффициентами. Сопряжённые корни
§ 4. Соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями
§ 5. Общий вид разложения целого многочлена в произведение
ГЛАВА IV. Приближённое вычисление корней уравнения
§ 1. Отделение действительных корней уравнения. Теорема Штурма
§ 2. Определение верхней и нижней границ положительных (или отрицательных) корней уравнения
§ 3. Графики целых рациональных функций — параболы высших порядков
§ 4. Приближённое вычисление корней уравнения
Упражнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ. ВТОРАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА I. Интегрирование рациональных функций
§ 1. Интегрирование элементарных дробей
§ 2. Разложение рациональной дроби на простейшие и интегрирование её (случай действительных корней знаменателя)
§ 3. Разложение рациональной дроби и интегрирование её в случае мнимых корней знаменателя
§ 4. Соотношение между круговыми функциями и логарифмом. Формула Эйлера
§ 5. Метод Остроградского интегрирования рациональных функций; выделение алгебраической части интеграла от рациональной дроби
Упражнения
ГЛАВА II. Интегрирование иррациональных функций
§ 1. Иррациональные функции
§ 2. Интегрирование выражений, содержащих рациональные степени линейной дроби
§ 3. Интеграл двучленного дифференциала
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих корень из квадратного трёхчлена
Упражнения
ГЛАВА III. Интегрирование трансцендентных функций
§ 1. Интегрирование функций, содержащих трансцендентный множитель с алгебраической производной
§ 2. Интегрирование функций с трансцендентным множителем е^ах, sin ах или cos ах
§ 3. Интегрирование выражений, зависящих рационально от показательной функции (ф-ла)
§ 4. Интегралы выражений, зависящих рационально от тригонометрических функций (ф-ла). Интегрирование помощью подстановки
§ 5. Формулы приведения для интеграла (ф-ла)
§ 6. Разложение степеней sin^n x cos^m x по синусам и косинусам кратных дуг
§ 7. Интегралы вида (ф-лы)
§ 8. Интегралы вида (ф-лы)
§ 9. Некоторые замечательные определённые интегралы
Упражнения
ГЛАВА IV. Функции нескольких переменных. Частные производные
§ 1. Функции нескольких переменных
§ 2. Непрерывность функций нескольких переменных
§ 3. Частные производные
§ 4. Частные дифференциалы. Полный дифференциал
§ 5. Дифференцирование сложной функции
§ 6. Дифференцирование неявной функции
§ 7. Теорема о существовании неявной функции
§ 8. Геометрическое значение частных производных и полного дифференциала функции двух независимых переменных
§ 9. Уравнение касательной плоскости и нормаль к поверхности
§ 10. Высшие частные производные. Независимость результата дифференцирования от порядка многократного дифференцирования
§ 11. Высшие частные и полные дифференциалы
§ 12. Теорема Эйлера об однородных функциях
Упражнения
ГЛАВА V. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных
§ 1. Максимум и минимум функции двух независимых переменных. Изыскание тех значений аргумента, при которых функция может иметь максимум или минимум
§ 2. Условия существования максимума или минимума функции двух независимых переменных
§ 3. Максимум и минимум функции многих переменных
§ 4. Относительный максимум или минимум
§ 5. Метод Лагранжа для решения вопроса об относительном максимуме или минимуме
Повторительные вопросы
Упражнения
ГЛАВА VI. Задачи интегрального исчисления для функций нескольких переменных
§ 1. Нахождение первообразной функции по данной частной производной
§ 2. Интеграл функции, зависящей от параметра
§ 3. Дифференцирование под знаком интеграла. Правило Лейбница
§ 4. Интегрирование по параметру
§ 5. Геометрическое значение двойного интеграла
§ 6. Криволинейный интеграл
§ 7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
§ 8. Интегрирование полного дифференциала
Повторительные вопросы
Упражнения
ГЛАВА VII. Кратные интегралы
§ 1. Двойной интеграл
§ 2. Теорема о среднем значении
§ 3. Вычисление двойного интеграла
§ 4. Замена переменных. Функциональный детерминант
§ 5. Замена переменных в двойном интеграле
§ 6. Элемент площади в прямолинейных координатах
§ 7. Свойства функционального детерминанта
§ 8. Переход от декартовых координат к полярным. Примеры применения замены переменных в двукратном интеграле
§ 9. Вычисление поверхности
§ 10. Площадь поверхности в криволинейных координатах
§ 11. Поверхностный интеграл или интеграл, распространённый на какую-либо определённую сторону поверхности
§ 12. Многократные интегралы. Трёхкратный интеграл
§ 13. Замена переменных в трёхкратном интеграле
§ 14. Вычисление объёмов
§ 15. Центр тяжести. Теоремы Гюльдена
§ 16. Момент инерции
Повторительные вопросы
Упражнения
ГЛАВА VIII. Соотношения между интегралами, распространёнными на область, и интегралами, распространёнными на границу этой области
§ 1. Формула Грина
§ 2. Формула Грина—Остроградского
§ 3. Теорема Грина
§ 4. Формула Стокса
§ 5. Понятие о векторном анализе
Упражнения
ГЛАВА IX. Основания теории рядов
§ 1. Определение рядов. Их сходимость и расходимость
§ 2. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда
§ 3. Ряды с положительными членами. Признаки их сходимости, вытекающие из сравнения рядов
§ 4. Признаки сходимости, вытекающие из свойств общего члена ряда или группы таких членов
§ 5. Иные признаки сходимости ряда
§ 6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
§ 7. Действия с рядами
§ 8. Ряды с комплексными членами
Повторительные вопросы
Упражнения
ГЛАВА X. Функциональные ряды
§ 1. Ряды, члены которых зависят от переменного аргумента
§ 2. Равномерная сходимость
§ 3. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости и некоторые свойства равномерно сходящихся рядов
§ 4. Интегрирование и дифференцирование рядов
§ 5. Свойства степенных рядов
§ 6. Задача разложения функции в степенной ряд; аппроксимация функции целым многочленом
§ 7. Ряды Тэйлора и Маклорена
§ 8. Разложение в ряд простейших функций
§ 9. Косвенные приёмы разложения в степенной ряд некоторых функций
§ 10. Ряды Тэйлора и Маклорена для функций нескольких переменных
§ 11. Ряды Фурье
§ 12. Неопределённые выражения
Упражнения
ГЛАВА XI. Приложение анализа к геометрии
§ 1. Касательная и нормаль к плоской кривой
§ 2. Отрезки касательной и нормали. Подкасательная и поднормаль
§ 3. Отрезки касательной к нормали в полярных координатах. Полярные подкасательная и поднормаль
§ 4. Асимптоты плоских кривых
§ 5. Особые точки плоских кривых
§ 6. Прикосновение плоских кривых между собой
§ 7. Кривизна плоской кривой
§ 8. Радиус кривизны. Центр кривизны. Круг кривизны
§ 9. Эволюта кривой
§ 10. Огибающая семейства кривых
§ 11. Касательная прямая к пространственной кривой. Нормальная плоскость
§ 12. Соприкасающаяся плоскость. Главная нормаль и бинормаль
§ 13. Кривизна и кручение пространственной кривой
§ 14. Системы поверхностей в пространстве
Упражнения
ГЛАВА XII. Дифференциальные уравнения
§ 1. Общие понятия
§ 2. Общий и частный интегралы дифференциального уравнения
§ 3. Приближенное построение интегральных кривых уравнений первого порядка
§ 4. Разделение переменных. Однородные уравнения
§ 5. Линейные уравнения первого порядка
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным уравнениям
§ 7. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
§ 8. Второй способ нахождения особых решений
§ 9. О существовании решений дифференциальных уравнений первого порядка
§ 10. Случаи нарушения единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Аналитическое обоснование существования особых решений
§ 11. Общие свойства интегралов линейных дифференциальных уравнений второго порядка
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
§ 13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
§ 14. Линейные однородные уравнения п-го порядка
§ 15. Линейные однородные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 16. Уравнения Эйлера
§ 17. Неоднородные линейные уравнения n-го порядка
§ 18. Интегрирование уравнений при помощи рядов
Упражнения
Алфавитный указатель