Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Романовский Всеволод Иванович Избранные труды. – 1959. – 501 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Множество рациональных чисел и некоторые свойства его
§ 2. Геометрическое представление множества рациональных чисел
§ 3. Множество точек R не исчерпывает всех точек прямой
§ 4. Необходимость пополнения множества рациональных чисел новыми числами
§ 5. Непрерывность прямой
§ 6. Сечения множества R
§ 7. Определение иррационального числа
§ 8. Равенство и неравенство иррациональных чисел. Положительные и отрицательные иррациональные числа
§ 9. Множество вещественных чисел и его непрерывность
§ 10. Положительная и отрицательная бесконечность
§ 11. Упражнения и задачи
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 12. Приближенное вычисление иррациональных чисел
§ 13. Сложение и вычитание иррациональных чисел
§ 14. Умножение и деление иррациональных чисел
§ 15. Принцип перманентности
§ 16. Действия с неравенствами
§ 17. Упражнения и задачи
Глава 3. СТЕПЕНИ И КОРНИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
§ 18. Целые положительные степени иррациональных чисел. Неравенства Безу
§ 19. Целые отрицательные степени
§ 20. Корни целой степени
§ 21. Дробные степени
§ 22. Упражнения и задачи
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
§ 23. Определения
§ 24. Сложение и вычитание комплексных чисел
§ 25. Умножение комплексных чисел
§ 26. Связь между комплексными и вещественными числами
§ 27. Деление комплексных чисел
§ 28. Применение комплексных чисел к решению уравнений
§ 29. Упражнения и задачи
Глава 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
§ 30. Тригонометрическая форма комплексных чисел
§ 31. Свойства модуля суммы комплексных чисел
§ 32. Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
§ 33. Извлечение корня целой положительной степени из комплексных чисел
§ 34. Формула Муавра
§ 35. Выражение степени синуса и косинуса простой дуги посредством синусов и косинусов кратных дуг
§ 36. Упражнения и задачи
Часть II. ПРЕДЕЛЫ
Глава 6. МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ И ИХ ГРАНИЦЫ
§ 37. Определения
§ 38. Мощность множества
§ 39. Понятие о переменном числе
§ 40. Понятие о функции
§ 41. Ограниченные и неограниченные множества
§ 42. Верхняя и нижняя границы множества чисел
§ 43. Множества, представляющие часть других множеств
§ 44. Упражнения и задачи
Глава 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ И ИХ ПРЕДЕЛЫ
§ 45. Определения
§ 46. Предел комплексной последовательности
§ 47. Монотонные последовательности
§ 48. Число е
§ 49. Верхний и нижний пределы последовательности чисел
§ 50. Другое определение верхнего и нижнего пределов последовательности чисел
§ 51. Свойства верхнего и нижнего пределов
§ 52. Верхний и нижний пределы неограниченной последовательности
§ 53. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы последовательность имела обыкновенный предел
§ 54. Теорема Коши
§ 55. Бесконечные множества и их пределы
§ 56. Верхний и нижний пределы бесконечного множества
§ 57. Упражнения и задачи
Глава 8. КАНТОРОВА ТЕОРИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 58. Определение Кантора иррациональных чисел
§ 59. Равенство и неравенство иррациональных чисел
§ 60. Сложение и вычитание иррациональных чисел
§ 61. Умножение и деление иррациональных чисел
§ 62. Обобщение определения Кантора и общий принцип операций над иррациональными числами
§ 63. Упражнения и задачи
Глава 9. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ЧИСЛА И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
§ 64. Определения
§ 65. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими числами
§ 66. Основные теоремы о бесконечно малых числах
§ 67. Порядок бесконечно малых чисел и замена одних бесконечно малых чисел другими
§ 68. Предел переменного числа
§ 69. Теоремы о равенстве и неравенстве пределов
§ 70. Теоремы о пределах суммы, произведения и целой положительной степени
§ 71. Теоремы о пределах частного и целой отрицательной степени
§ 72. Предел монотонно изменяющегося переменного числа
§ 73. Упражнения и задачи
Глава 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ. ЛОГАРИФМЫ. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
§ 74. Иррациональные степени
§ 75. Логарифмы положительных чисел
§ 76. Предел степени при любом вещественном показателе
§ 77. Предел (ф-ла)
§ 78. Показательная функция е^x
§ 79. Предел логарифма
§ 80. Некоторые специальные пределы
§ 81. Примеры
§ 82. Упражнения и задачи
Часть III. ФУНКЦИИ
Глава 11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 83. Основные определения
§ 84. Целые рациональные функции
§ 85. Дробные рациональные функции
§ 86. Степенная функция
§ 87. Показательная функция
§ 88. Логарифмическая функция
§ 89. Прямые и обратные функции
§ 90. Однозначные и многозначные функции
§ 91. Периодические функции
§ 92. Четные и нечетные функции
§ 93. Явные и неявные функции
§ 94. Алгебраические и трансцендентные функции
§ 95. Многие независимые переменные
§ 96. Функции многих независимых переменных
§ 97. Упражнения и задачи
Глава 12. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 98. Определение непрерывной функции одного аргумента
§ 99. Предел функции одного аргумента
§ 100. Определение непрерывной функции на основании понятия о пределе функции
§ 101. Непрерывность некоторых функций
§ 102. Непрерывность тригонометрических и круговых функций
§ 103. Обратные функции и их непрерывность
§ 104. Прерывные функции одного аргумента
§ 105. Непрерывные функции многих независимых переменных
§ 106. Упражнения и задачи
Глава 13. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ВЕЩЕСТВЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 107. Теорема Больцано
§ 108. Теорема Вейерштрасса
§ 109. Равномерно непрерывные функции и теорема Кантора
§ 110. Свойства непрерывных функций многих независимых переменных
§ 111. Упражнения и задачи
Глава 14. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 112. Комплексная степень числа e
§ 113. Показательная функция е^z
§ 114. Формула Эйлера
§ 115. Разложение e^z, sin z и cos z в бесконечные ряды
§ 116. Понятие о логарифме и о комплексной степени комплексного числа
§ 117. Логарифмическая функция комплексного переменного
§ 118. Степенная и показательная функции
§ 119. Упражнения и задачи
Часть IV. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Глава 15. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
§ 120. Определения
§ 121. Основной признак сходимости рядов
§ 122. Остаточный член ряда
§ 123. Замена конечного числа членов ряда другими числами и умножение членов ряда на конечное число
§ 124. Сложение и вычитание сходящихся рядов
§ 125. Упражнения и задачи
Глава 16. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 126. Основные свойства рядов с положительными членами
§ 127. Принцип сравнения рядов
§ 128. Признак Коши
§ 129. Признак Даламбера
§ 130. Признак Раабе
§ 131. Признак Куммера
§ 132. Ряды с монотонно убывающими положительными членами
§ 133. Логарифмические признаки
§ 134. Сравнение сходимости и расходимости рядов
§ 135. Упражнения и задачи
Глава 17. РЯДЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 136. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды
§ 137. О сходимости рядов с произвольными членами
§ 138. Законы сложения для бесконечных рядов
§ 139. Умножение рядов
§ 140. Комплексные ряды
§ 141. Упражнения и задачи
Глава 18. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
§ 142. Двойные ряды с положительными членами
§ 143. Суммирование двойных рядов с положительными членами по строкам или по столбцам
§ 144. Двойные ряды с произвольными членами
§ 145. Многократные ряды
§ 146. Упражнения и задачи
Глава 19. ВЫЧИСЛЕНИЕ РЯДОВ
§ 147. Две основные задачи
§ 148. Точное конечное суммирование рядов
§ 149. Общие замечания о приближенном вычислении рядов
§ 150. Вычисление медленно сходящихся рядов
§ 151. Преобразование Куммера
§ 152. Преобразование Маркова
§ 153. Преобразование Эйлера
§ 154. Упражнения и задачи
Глава 20. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 155. Бесконечные произведения с положительными членами
§ 156. Бесконечные произведения с произвольными членами
§ 157. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения
§ 158. Формула Валлиса
§ 159. Суммирование ряда
§ 160. Упражнения и задачи
Глава 21. РЯДЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 161. Ряды с переменными членами
§ 162. Некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах
§ 163. Степенные ряды
§ 164. Теорема Коши — Адамара
§ 165. Непрерывные функции, определяемые сходящимися степенными рядами
§ 166. Подстановка ряда в ряд
§ 167. Умножение и деление степенных рядов
§ 168. Обращение рядов
§ 169. Дифференцирование и интегрирование рядов
§ 170. Упражнения и задачи