Николаи Евгений Леопольдович родился в семье известного ученого мостостроителя, профессора Петербургского института инженеров путей сообщения Леопольда Францевича Николаи. После окончания с золотой медалью гимназии он поступил в 1898 г. на математическое отделение физико-математического факультета Петербургского университета. После окончания его в 1902 г. был оставлен профессором Д.К. Бобылевым на кафедре прикладной математики для подготовки к профессорскому званию.

Одновременно он начинает вести упражнения в Петербургском электротехническом институте по математике (до 1907 г.) и в Петербургском политехническом институте по теоретической механике. В летние каникулы 1903 и 1905 гг. он слушал лекции по математике и механике в Геттингенском университете. В 1906-1909 гг. Е.Л. Николаи вел упражнения по теоретической механике на Петербургских высших женских политехнических курсах, в 1911 г. читал лекции по этому предмету в Петербургском технологическом институте, а в 1914 г. - в Петербургском политехническом институте и в Петербургском институте инженеров путей сообщения. С 1913 г. читал лекции по гидродинамике на инженерно-строительном отделении Петербургского политехнического института. Одновременно с большой педагогической работой он ведет плодотворную научную работу и публикует ряд статей по теории упругости.

В 1916 г. Е.Л. Николаи защитил на физико-математическом факультете Петроградского университета диссертацию на тему "К задаче об упругой линии двоякой кривизны" на соискание ученой степени магистра прикладной математики, а в 1917 г. был избран профессором кафедры теоретической механики Петроградского политехнического института. Через год, в 1918 г., он возглавил кафедру теоретической механики в Петроградском институте инженеров путей сообщения, а в 1919 г. - в Петроградском технологическом институте.

В 1922 г. вышла в свет первая, а в 1925 г. вторая часть его учебника по механике, которая в дальнейшем неоднократно переиздавалась. Эта книга была написана с предельной ясностью и четкостью и содержала много иллюстраций законов механики из техники. Ее изучали сотни тысяч советских студентов.

После получения профессуры Николаи продолжал вести большую научную работу и опубликовал ряд статей по устойчивости стержней и теории колебаний.

В 1924 г. Николаи принял участие в Первом международном конгрессе по теоретической и прикладной механике в Делфте (Нидерланды) и ознакомился с высшими техническими школами в Делфте, Шарлоттенбурге и Брауншвейге (Германия), а в 1930 г. он принял участие в работе третьего такого конгресса в Стокгольме, где сделал доклад об устойчивости валов и ознакомился с работой научно-исследовательских институтов Берлина и Геттингена.

В 1927 г. по его инициативе было учреждено Ленинградское механическое общество, председателем которого он стал. В 1929 г. это общество начало издавать журнал "Вестник механики и прикладной математики", который в 1933 г. был преобразован в журнал "Прикладная математика и механика". Е.Л. Николаи был ответственным редактором этих журналов и после передачи издания последнего журнала в Институт механики Академии наук СССР стал членом редколлегии.

В 1930 г. Е.Л. Николаи прекратил работу в Ленинградском институте инженеров путей сообщения и в Ленинградском технологическом институте и остался заведующим отделением технической механики в Ленинградском физико-механическом институте, созданном на базе соответствующей специальности Ленинградского политехнического института. В этом институте в 1930 г. он организовал новую специальность, которая вначале называлась "Динамические явления в машинах и механизмах", а затем "Динамика и прочность машин". В этом же году такая же специальность была создана в Харьковском политехническом институте, и с 1930 по 1961 гг., когда аналогичная специальность появилась в Московском высшем техническом училище им. Н.Э. Баумана, такая специальность в Советском Союзе была только в двух вузах, тогда как в настоящее время она введена в двенадцати вузах страны. В этом же 1930 г. Е.Л. Николаи начал работу в Ленинградском государственном университете профессором кафедры теории упругости, а с 1932 г. также заведующим отделом теории упругости и общей механики в Институте математики и механики университета.

В 1935 г. Е.Л. Николаи был утвержден в ученой степени доктора физико-математических наук без защиты диссертации и в ученом звании профессора по кафедре теории упругости. В это время он опубликовал ряд статей по устойчивости сжатых и скрученных стержней и по теории гироскопов, а также учебник по регулированию машин. В 1944, 1946 и 1948 гг. вышли три его монографии по гироскопам.

В разносторонней научной деятельности Е.Л. Николаи достаточно отчетливо прослеживается история становления и развития четырех направлений исследований: 1) теория упругости, главным образом, теория деформации тонких стержней и теория устойчивости стержней; 2) теория вибраций; 3) теория гироскопов и гироскопических приборов; 4) история механики.