Сын русского историка Александра Сергеевича Лаппо-Данилевского. В 1925 окончил Ленинградский университет, работал в ряде ленинградских высших учебных заведений.

Лаппо-Данилевский И.А. построил теорию функций от матриц и применил её к решению основных проблем теории линейных дифференциальных уравнений, что дало ему возможность получить ряд фундаментальных результатов. В 1929 г. он защитил диссертацию, в которой изложил совершенно новую точку зрения на теорию линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами. Одновременно с этим развитием творческой научной силы, Лаппо-Данилевский складывается и как выдающийся преподаватель. Уже в 1925 г. он состоит преподавателем Ленинградского морского техникума, а затем становится ассистентом и профессором ряда ленинградских ВТУЗов, вызывая восторженное отношение учащейся молодежи.

В 1929-1930 гг. Лаппо-Данилевский И.А. читает как доцент специальный курс в Ленинградском университете, посвященный его новой теории. Осенью 1930 г. Наркомпрос командирует его в Германию для дальнейшего развития его теории линейных дифференциальных уравнений, сроком на 1 год. Тогда же он, по представлению академика И.М. Виноградова, Birkhoff'а и Schlesinger'а, удостаивается Рокфеллеровской премии-стипендии и, одновременно с этим, по представлению академика А.Н. Крылова, удостаивается премии Главнауки при Наркомпросе.

В 1931 г. в Гисене (Германия) Лаппо-Данилевский И.А. скончался.

Соч.: Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957.