Анатолий Петрович Александров родился 31 января (13 февраля) 1903 г. в г. Тараща Киевской губернии (ныне Киевская обл., Украина), где отец служил мировым судьей. Выходец из мещан Саратовской губернии Петр Павлович Александров получил затем личное дворянство. По приезде семьи в Киев П.П. Александров был членом суда по крестьянским земельным делам, впоследствии преподавал в Киевском реальном училище, а по установлении советской власти – в трудовой школе. Матери А.П. Александров лишился в возрасте 3-х лет.

В 1920 г. А.П. Александров окончил Киевское реальное училище. Работал электромонтером, и посещал занятия химического отделения Киевского политехнического института. В 1921–1922 гг. работал электромонтером в Киевском физико-химическом обществе при Политпросвете (образовалось из школьных физических кружков, один из которых был создан при участии А.П. Александрова), преподавал физику и химию в школах.

В 1924 г. был командирован в вуз, поступил и окончил практически экстерном в 1930 г. Киевский университет (в 1920-е гг. Киевский институт народного образования), так как ему приходилось работать, чтобы поддержать семью материально

Научную деятельность А.П. Александров начал в Киевском рентгеновском институте в 1929 г. (бесплатно, по собственному желанию) в области физики диэлектриков. Результаты изложил в первой научной статье "Высоковольтная поляризация в церезине" (опубл. в 1929 г.). Работа была доложена на съезде физиков в 1930 г. в Одессе, после чего академик А.Ф. Иоффе пригласил А.П. Александрова на работу в Ленинградский физико-технический институт, где он работал до 1946 г. сначала в качестве научного сотрудника, в 1933 г. возглавил Лабораторию электропроводности и прочности диэлектриков в отделе твердого тела (руководитель А.Ф. Иоффе), в 1940 г. был назначен заведующим лабораторией электрических свойств аморфных тел, работы велись также под непосредственным руководством А.Ф. Иоффе.

Большую известность получили работы А.П. Александрова этого времени, по изучению электрического пробоя твердых диэлектриков, по теории хрупкой прочности и по созданию высококачественного изоляционного материала (полистирол). Им и его сотрудниками были проведены исследования в области, которая еще не имела своей теории – физике полимерных веществ. Работы этого цикла, выполненные в 1933–1941 гг. и составившие основное содержание докторской диссертации (защищена в 1941 г.), послужили основой для ряда разделов физики полимеров, вошли в учебники и монографии и определили дальнейшие пути развития многих направлений физики полимеров. Уже здесь обозначилась особенность стиля работы А.П. Александрова – тесная связь с промышленностью и доведение всех работ до практического результата.

В 1938 г. под непосредственным руководством А.П. Александрова были закончены начатые еще в 1936 г. работы, в результате которых удалось создать надежные средства защиты кораблей от магнитных мин, обеспечившие жизнеспособность нашего флота в годы Великой Отечественной войны. В этих работах приняли участие, помимо сотрудников А.П. Александрова, многие ученые из других лабораторий ЛФТИ, и в том числе И.В. Курчатов. С инспекционными проверками действия метода защиты кораблей от неконтактных мин А.П. Александров выезжал с июля 1941 г. в Севастополь, Архангельск, Мурманск, блокадный Ленинград, в августе 1942 г. в период Сталинградской битвы – в Сталинград.

В атомную науку и технику А.П. Александров пришел в конце Великой Отечественной войны, будучи уже известным ученым, членом-корреспондентом АН СССР (с 1943 г.). С середины 1940-х гг. он и возглавляемые им коллективы в необычайно короткий срок выполнили сложные и чрезвычайно трудоемкие физические исследования и разработки, которые были необходимы для решения атомной проблемы. С 1946 по 1955 гг. А.П. Александров был директором Института физических проблем АН СССР, с 1948 г. назначен заместителем И.В. Курчатова по Лаборатории № 2 АН СССР (в 1955 г. Лаборатория преобразуется в Институт атомной энергии), вместе с которым заложил научные основы развития всех основных направлений отечественного ракетостроения.

В 1953 г. А.П. Александров был избран академиком.

После смерти И.В. Курчатова в 1960 г. А.П. Александров возглавил Институт атомной энергии. В течение почти тридцати лет он оставался научным руководителем важнейших научно-технических программ по разработке и сооружению ядерных реакторов различного назначения. Под непосредственным научным руководством А.П. Александрова построен ряд исследовательских реакторов, реакторов для атомных электростанций и для энергетических установок ледокольного флота, реакторы для работы в космосе.

Уникален вклад А.П. Александрова в создание советского атомного флота. А.П. Александров руководил пуском реакторов первого в мире атомного ледокола "Ленин" и первой советской атомной подводной лодки "Ленинский комсомол". Оба судна были сданы в эксплуатацию в 1959 г. За ним последовали новые, более совершенные установки – атомные ледоколы "Арктика", "Сибирь", "Россия". Десятки атомных подводных лодок трех поколений были оснащены мощным ракетно-ядерным оружием, которое обеспечивало стратегический паритет в годы холодной войны.

Разносторонние научные интересы ученого широко проявились на посту директора Института атомной энергии им. И.В. Курчатова, который он возглавлял до декабря 1988 г. Он проводил огромную работу по расширению сферы использования ядерных источников энергии в мирных целях (атомные станции теплоснабжения, ядерные энергоустановки для получения высокопотенциального тепла для химической и металлургической промышленности), развитию исследований в области плазмы и управляемого термоядерного синтеза. Результаты, достигнутые под его научным руководством в этой области, позволили СССР занять лидирующие позиции по многим разделам атомной науки, техники и промышленности.

Особое внимание А.П. Александров уделял развитию фундаментальных исследований в Институте в области молекулярной биологии и физики твердого тела, неорганической химии и проблем технического использования сверхпроводимости. А.П. Александров создал в Институте Отдел физики твердого тела, еще ранее он вместе с И.В. Курчатовым организует биологический отдел, позднее выделившийся в самостоятельный институт (ныне Институт молекулярной генетики РАН) и ставший одним из ведущих центров в этой области биологических исследований.

Следуя лучшим традициям отечественной науки, А.П. Александров стремился сделать все возможное для развития прогрессивных направлении современного научного знания. Им была создана школа физиков-ядерщиков.

А.П. Александров вел большую научно-организационную, общественную и государственную работу. С 1960 г. он член Президиума АН СССР. С 1975 по 1986 гг. президент АН СССР и председатель Совета по координации научной деятельности академий наук союзных республик, председатель постоянно действующей комиссии Госплана СССР, ГКНТ и АН СССР по разработке долгосрочных комплексных программ развития топливно-энергетического комплекса, Межведомственного научного совета АН СССР и АМН СССР по фундаментальным проблемам медицины, Междуведомственного совета по научным основам агропромышленного комплекса, Научного совета по комплексной проблеме "Гидрофизика", Комиссии по атомной энергии, Комиссии по проблемам эффективности применения ЭВМ.

В 1966 г. на ХХIII съезде КПСС впервые был избран членом ЦК КПСС, затем избирался членом ЦК на всех последующих съездах по ХХVII включительно. В эти же годы А.П. Александров неоднократно избирался членом Верховного Совета СССР. А.П. Александров являлся членом Советского комитета защиты мира (с 1985 г.). Труд ученого был высоко оценен.

А.П. Александров – трижды Герой Социалистического Труда (1954, 1960, 1974), лауреат Ленинской (1959) и Государственных премий (1942, 1949, 1951, 1953), лауреат премии имени А.Ф. Иоффе (1980), лауреат премии имени А.П. Карпинского (1984), награжден девятью орденами Ленина, Орденом Октябрьской революции, орденом Трудового Красного Знамени, многими медалями, удостоен Большой золотой медали им. М.В. Ломоносова, золотыми медалями им. С.И. Вавилова и им. И.В. Курчатова.

Ученый, имевший мировую известность, А.П. Александров избирался членом Королевской шведской академии инженерных наук, членом академий наук Болгарии, Венгрии, Польши, Монголии, Чехословакии, был награжден иностранными орденами и медалями.

В 1986 г. случилась чернобыльская катастрофа – авария на Чернобыльской АЭС. А.П. Александров пережил ее как личную трагедию, он подал в отставку. С 1986 г. и до конца своих дней основную часть времени уделял развитию работ по гарантированной безопасности реакторов и деятельности по ликвидации последствий чернобыльской аварии. Постановлением Президиума АН СССР от 28 декабря 1990 г. А.П. Александров был избран членом Научного Совета по государственной научно-технической программе "Безопасность населения и народно-хозяйственных объектов с учетом риска возникновения природных и техногенных катастроф".

Умер А.П. Александров 3 февраля 1994 г. в Москве.