Евгений Иванович Забабахин родился в Москве 3 (16) января 1917 г. в семье служащих. До 1924 г. семья проживала в Москве, а после 1924 г. – на станции Баковка Западной железной дороги. Учился в школе-семилетке в Москве, окончил ее в 1931 г.

В 1932 г. поступил в Машиностроительный техникум при заводе «Шарикоподшипник» (1932-1936) на специальность «техник-технолог». После окончания техникума работал в автоматно-токарном цехе завода «Шарикоподшипник» в должностях мастера, монтера-наладчика, технолога.

В 1936 г. Е.И. Забабахин сдал конкурсные экзамены на физическом факультете Московского государственного университета, где проучился до 1941 г., окончив три курса.

В начале Великой Отечественной войны он был направлен на строительство укреплений в район города Рославль (Смоленской области), был там командиром комсомольского взвода до сентября 1941 г.

В сентябре 1941 г. Е.И. Забабахин был призван в Красную Армию и направлен в Свердловск на учёбу в Военно-воздушную академию им. Н.Е. Жуковского, где прошел курс обучения на факультете авиавооружения. В 1944 г., после окончания академии по специальности «инженер-механик по вооружению военно-воздушных сил» с отличием, продолжил учёбу в адъюнктуре, которую окончил в 1947 г. Темой кандидатской диссертации, которую он защитил в 1947 г. в заседании Ученого совета Института химической физики АН СССР, было исследование процессов в сходящейся ударной волне.

С 1944 по 1948 г. Е.И. Забабахин работал преподавателем кафедры баллистики Военно-воздушной академии им. Н.Е. Жуковского и одновременно являлся младшим научным сотрудником Института химической физики (ИХФ) АН СССР.

Поскольку в это время проводились работы по созданию в СССР атомной бомбы, Е.И. Забабахин был направлен в Институт химической физики, а с весны 1948 г. — в КБ-11 (ныне ВНИИЭФ в Сарове). С 1947 по 1948 г. он работал в теоретическом отделе ИХФ АН СССР, а с 1948 по 1955 г. – на закрытом предприятии, выполняя обязанности сначала старшего научного сотрудника, а затем начальника одного из теоретических отделов.

В апреле 1955 г. Е.И. Забабахин был переведен на Урал, в город Челябинск-70 (ныне Снежинск), в создаваемый НИИ-1011 заместителем научного руководителя и начальником теоретического отделения. За участие в разработке первой советской атомной бомбы и успешное испытание он был удостоен звания лауреата Сталинской премии II степени и ордена В.И. Ленина. В 1951 г. за разработку и испытание бомбы улучшенной конструкции он был удостоен звания лауреата Сталинской премии I степени и ордена Трудового Красного Знамени. В 1953 г. за улучшение физической схемы ядерных зарядов он был удостоен звания Героя Социалистического Труда и лауреата Сталинской премии I степени.

В том же году он защитил докторскую диссертацию и постановлением Научного совета АН СССР от 8 июня 1953 г. ему было присуждена ученая степень доктора физико-математических наук.

С 1955 г. Е.И. Забабахин - заместитель научного руководителя и начальник теоретического отделения НИИ-1011. Разработки НИИ привели к принятию на вооружение Советской Армии первого термоядерного заряда. В 1958 г. ученый был удостоен звания лауреата Ленинской премии. С 1960 г. он становится руководителем НИИ и остается в этой должности до своей смерти.

В 1958 г. Е.И. Забабахин был избран членом-корреспондентом АН СССР по Отделению физико-математических наук (физика), а в 1968 г. - действительным членом АН СССР по Отделению общей физики и астрономии (физика). Генерал-лейтенант-инженер ВВС (1977).

Основные труды в области газодинамики и физики взрыва и ударных волн. Внес существенный вклад в разработку ядерного оружия СССР, в применение ядерных зарядов для мирного использования, в изучение физических процессов ядерного взрыва и его воздействия. Фундаментальные научные результаты были получены ученым в области кумулятивных систем (кумуляция в сложных системах - "слойки Забабахина", влияние теплопроводности на фокусировку ударной волны, влияние вязкости и вращения на схождение оболочек); в области физики высоких давлений (уравнения состояния конденсированных сред и ВВ, полиморфные фазовые превращения); в области физики взрыва (воздействие на различные среды, организация необходимого режима воздействия и т. п).

Е.И. Забабахин создал уральскую научную школу по физике высоких плотностей энергии.

Пять орденов В.И. Ленина (1949, 1954, 1966, 1975, 1981), два ордена Трудового Красного Знамени (1951, 1956), орден Октябрьской революции (1971); Ленинская премия (1958), Государственные премии (1949, 1951, 1953). Золотая медаль им. М.В. Келдыша за цикл работ по неорганической кумуляции энергии (1984). Герой Социалистического труда (1953).

Семья: жена – Забабахина Вера Михайловна (р. 1923), дети – Игорь (р.1949), Александра (р.1951), Николай (р.1952).

Евгений Иванович Забабахин умер 27 декабря 1984 г. в наукограде Челябинск -70 (наст. - Снежинск Челябинской обл.), похоронен на Городском (ближнем) кладбище Снежинска.

С 1987 г. в честь ученого проводятся традиционная международная конференция по физике высоких плотностей энергии под названием «Забабахинские научные чтения», в 1988 г. учреждена премия им. Е.И. Забабахина для молодых ученых. В 1999 г. его имя присвоено Российскому федеральному ядерному центру; улице в городе Снежинск; установлена мемориальная доска в Сарове на здании ВНИИ экспериментальной физики.